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Angles et parallélisme

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Objectifs

Lorsque deux droites sont coupées par une sécante, il existe un lien entre certains angles et le parallélisme de ces deux droites.
Qu’est ce que deux angles correspondants, deux angles alternes-internes ? Quelles propriétés sur ces angles permettent de prouver le parallélisme de deux droites ?

1. Angles correspondants

Soit (t) et (u) deux droites coupées par une sécante.

Dans le cas défini ci-dessus, les angles rouge et orange sont dits correspondants.
Remarque : Sur le schéma précédent, on peut construire trois autres paires d’angles correspondants (angles de même couleur).

Propriété

Si (t) et (u) sont deux droites parallèles et (d) une sécante alors les angles correspondants ont la même mesure.

Exemple
(t) et (u) sont parallèles alors les deux angles orange ont la même mesure.

2. Angles alternes-internes

Soit (t) et (u) deux droites coupées par une sécante.

Dans le cas défini ci-dessus, les angles vert et bleu sont dits alternes-internes.
Remarques :
• Il existe une autre paire d’angles alternes-internes.

• On dit « alternes » car les angles sont « de part et d’autre » de la droite (d).
• On dit « internes » car les angles sont « entre les droites » (t) et (u).

Propriété

Si (t) et (u) sont deux droites parallèles et (d) une sécante alors les angles alternes-internes ont la même mesure.

Exemple
(t) et (u) sont parallèles alors les angles bleus ont la même mesure.

3. Caractérisation du parallélisme

Propriété

Soit (t) et (u) deux droites coupées par une sécante.
Si les angles correspondants ou les angles alternes-internes sont de même mesure alors les droites (t) et (u) sont parallèles.

Exemple
Montrer d’après les indications que les droites (t) et (u) sont parallèles.

Les angles bleu et vert sont supplémentaires donc l’angle vert a pour mesure :
180 − 70 = 110°.
Or les angles vert et rouge sont correspondants et égaux à 110° donc d’après la propriété précédente les droites (t) et (u) sont parallèles.

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