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Médiatrices et cercle circonscrit

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Objectif

Il n’existe qu’un seul cercle passant par les 3 sommets d’un triangle ; c’est le cercle circonscrit au triangle.
Comment tracer le cercle circonscrit à un triangle ?

1. Définition de la médiatrice d'un segment

La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire.

Voici le plan de construction d'une médiatrice :

Propriété

La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points situés à égale distance des deux extrémités de ce segment.

Exemple

On a :
MA = MB et NA = NB.

2. Cercle circonscrit à un triangle

a. Cercle circonscrit à un triangle

Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les 3 sommets du triangle.

Le centre O du cercle circonscrit à un triangle ABC est donc tel que :
• OA = OB (rayons du cercle) donc O appartient à la médiatrice de [AB].
• OA = OC donc O appartient à la médiatrice de [AC].
• OB = OC donc O appartient à la médiatrice de [BC].

Le centre du cercle circonscrit est le point de concours des 3 médiatrices du triangle.

En pratique, il suffit de tracer deux médiatrices pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle.

b. Méthode pour tracer un cercle circonscrit à un triangle

On trace les médiatrices du triangle (il suffit d’en tracer deux). Leur point d’intersection O donne le centre du cercle circonscrit. On pointe le compas en O, et on trace le cercle passant par l’un des sommets. Si le dessin est précis, le cercle passe par les trois sommets du triangle : c’est le cercle circonscrit au triangle.
Il existe trois cas possibles :