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Utilisation de la proportionnalité : pourcentages

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1. Le pourcentage

• Définition

Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité.

• Exemple
Si dans un collège 40 % des élèves suivent des cours d’anglais, cela signifie qu’en moyenne :
- sur 100 élèves, 40 font de l’anglais ;
- sur 200 élèves, 40 × 2 = 80 font de l’anglais ;
- sur 500 élèves, 40 × 5 = 200 élèves font de l’anglais…

On peut résumer cette situation dans un tableau de proportionnalité :

Remarque : Le pourcentage représente le coefficient de proportionnalité.

2. Appliquer un pourcentage

• Définition

Calculer a % d’une quantité revient à multiplier cette quantité par

• Exemple 1
Un chef d’entreprise annonce à ses salariés qu’ils sont augmentés de 5% en 2008.
Cela signifie que pour 100 euros de salaire, il y aura une augmentation de 5 euros.

On peut résumer la situation dans un tableau de proportionnalité :

• Exemple 2
Un yaourt de 150 g contient 40 % de matière grasse.
Quelle masse de matière grasse contient ce yaourt ?

Prendre 40 % de 150 revient à calculer :

Ce yaourt contient 60 g de matière grasse.

3. Calculer un pourcentage

Le calcul de pourcentages peut se faire soit à l’aide d’un tableau de proportionnalité, soit en utilisation des fractions.

Exemple d’étude
Lors d’un sondage sur les habitudes alimentaires, 450 personnes sur 1200 interrogées déclarent ne pas prendre de petit déjeuner.
Calculer le pourcentage de personnes ne prenant pas de petit-déjeuner dans cet échantillon ?

- Méthode 1 : à l’aide d’un tableau de proportionnalité
Afin de calculer ce pourcentage, on se ramène à une situation de proportionnalité en considérant qu’il n’y a que 100 personnes interrogées :

Pour passer de la première colonne à la seconde, on divise par 12 , donc on passe de 450 à x en divisant aussi par 12 :

Parmi les personnes interrogées, 37,5 % ne prennent pas de petit déjeuner.

- Méthode 2 : à l’aide de fractions
Les personnes qui ne prennent pas de petit déjeuner représentent

des personnes interrogées.
Pour calculer le pourcentage correspondant, on cherche une fraction égale à

et de dénominateur 100. Or :

37,5% des personnes interrogées ne prennent pas de petit-déjeuner.

4. Application successive de deux pourcentages

• Exemple
Une commerçante applique une déduction de 10 %.
D’après le paragraphe 2, le prix remisé pour un prix de départ de 100 € sera de 90 €.

Puis elle applique une nouvelle remise de 10 %. Le prix remisé final sera alors calculé comme suit :

L'application de deux pourcentages successifs n'est pas égale à la somme de ces pourcentages.

Si l’on avait d’abord fait la somme des pourcentages, on aurait obtenu 20 % (10 % + 10 %).
En appliquant le total obtenu :

alors que le résultat exact est 81 €.

5. Calcul de la valeur d'origine

• Exemple
Le prix remisé, suite à une remise de 10 % est de 63 €.
Quel était le prix d’origine ?

D’après le paragraphe 2, on sait que le prix final après une remise de t % est :

Autre écriture, en mettant (prix d’origine) en facteur :

On peut donc en déduire le prix d’origine :

En appliquant le calcul à l’exemple, on obtient :

Il faut toujours contrôler le résultat obtenu en faisant le calcul inverse : soit un prix d’origine de 70 € et un taux de remise de 10 %, quel est le prix final ?