Utilisation de la proportionnalité : durée et vitesse - Cours de Mathématiques avec Maxicours - Collège

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Utilisation de la proportionnalité : durée et vitesse

Objectifs
Le calcul de vitesse est un cas particulier d’application de la proportionnalité.
Comment convertir des durées et des vitesses ? Comment calculer une vitesse dans le cas d’un mouvement uniforme ?
1. Durée
a. Unités de temps
La durée peut s’écrire sous différentes formes :
  • en heures, minutes et secondes : 3 h 15 min 23 s ;
  • en heures décimales : 2,12 h ;
  • en fraction d’heure :  heure.
Relations de proportionnalité
1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 3600 s
1 min = h 1 s = min 1 s = h
b. Conversion de durées - Exemple
Exemple 1 : Convertir 2 h 14 min en minutes, puis en secondes.
2 h = 2 × 60 = 120 min, donc 2 h 14 = 120 + 14 = 134 min.
Et 134 × 60 = 8 040 s.
Exemple 2 : Convertir 3 h 24 en heures décimales. 
Attention : 3 h 24 est différent de 3,24 h.
On convertit les 24 minutes en écriture décimale.
Les minutes et les heures sont proportionnelles, on a donc le tableau de proportionnalité suivant.

minutes 60 24
heures 1

Par la méthode du produit en croix, on a , donc 3 h 24 = 3 + 0,4 = 3,4 h.
2. Mouvement uniforme
a. Définition
Lorsque la distance parcourue par un mobile est proportionnelle à la durée du parcours, on dit que le mouvement est uniforme. Dans ce cas, le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la durée à la distance parcourue est la vitesse constante du mobile.
b. Exemple d'application 1
On relève toutes les demi-heures la distance parcourue par deux voitures sur le même parcours. Ces données sont regroupées dans le tableau suivant :

Cas de la voiture 1
Dans le cas de la voiture 1, les rapports sont égaux :  
D’où le tableau de proportionnalité suivant :
       

La voiture 1 a un mouvement uniforme, car la distance parcourue est proportionnelle à la durée.

Le coefficient de proportionnalité est égal à 90, ce qui signifie que la voiture 1 roule à la vitesse constante de 90 km/h.

Cas de la voiture 2
Dans le cas de la voiture 2, les rapports sont inégaux :
 et , donc .
 
La distance parcourue par la voiture 2 n’est pas proportionnelle à la durée, le mouvement n’est donc pas uniforme.
c. Exemple d'application 2
La voiture 1 continue son trajet sur 117 km à la vitesse constante de 90 km/h.
Quelle est la durée de son parcours ?

Soit  la durée mise pour parcourir 117 km à 90 km/h.
On a le tableau de proportionnalité suivant :

Par la méthode du produit en croix, on a .
Donc 1,3 h = 1 h + 0,3 h = 1 h 18 min (car 0,3 h = 0,3 × 60 = 18 min).

La voiture 1 met 1 h 18 min pour parcourir 117 km à la vitesse constante de 90 km/h.
d. Unités de vitesses utilisées
Unité de la distance km km m mile = 1852 m
Unité de la durée s s s
Unité de la vitesse  km/h  km/s  m/s  mile/h = nœud
Exemples  vitesse sur autoroute 
130 km/h
 vitesse de la lumière 
300 000 km/s
vitesse du son
330 m/s 
vitesse d'un paquebot
30 nœuds 
 

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