Fonctions linéaires - Maxicours

Fonctions linéaires

Objectifs
Les fonctions linéaires sont des fonctions particulières. Elles traduisent des situations de proportionnalité entre deux grandeurs.
Qu’est-ce-qu’une fonction linéaire ? Quelle est sa représentation graphique ?
Comment détermine-t-on graphiquement ou par calculs des images et des antécédents par une fonction linéaire ?
1. Définition d'une fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre ax , où a étant un nombre quelconque donné.
a est appelé le coefficient de la fonction linéaire.

On notera cette fonction de manière équivalente :
ou f : x → ax   ou   f(x) = ax.

Exemples :
• la fonction linéaire f de coefficient 3 se note   f : x → 3x    ou   f(x) = 3x
• la fonction linéaire g de coefficient se note   g : x → x   ou   g(x) = x.

Remarques : pour toute fonction linéaire f de coefficient a, on a : f(0) = a × 0 = 0.

2. Calculs avec des fonctions linéaires
a. Images et antécédents par une fonction linéaire
1) Déterminer l’image de –5 et 0 par la fonction   f : x → 4x.
* On a f(–5) = 4 × (–5) = –20 . Donc l’image de -5 par f est –20.
* De même f(0) = 0 . Donc l’image de 0 par f est 0.

2) Déterminer les antécédents de 0 et –10 par la fonction h de coefficient 5.
• Il s’agit de trouver le nombre x tel que h(x) = –10.
Or, h(x) = 5x   donc   5x = –10 ;   soit   x = = –2.
L’antécédent de –10 par h est –2.

• Toute fonction linéaire h est telle que h(0) = 0, donc l’unique antécédent de 0 par h est 0.

Remarque : par une fonction linéaire de coefficient a non nul, tout nombre possède un unique antécédent.
b. Détermination d'une fonction linéaire
Exemple : Déterminer la fonction linéaire h telle que h(-1) = 4.

h est une fonction linéaire donc il existe un coefficient a tel que :  h(x) = ax.

Donc h(-1) = a(-1) = -a.
Or, h(-1) = 4 .
Donc : -a = 4 ,   soit a = -4.

La fonction h est la fonction linéaire définie par :  h(x) = -4x.


3. Représentation graphique d'une fonction linéaire
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.
On dit que l’équation de la droite est : y = ax.
a est aussi appelé le coefficient directeur de cette droite.

Exemples :

Remarque : La droite d’équation y = ax passe par le point A de coordonnées (1 ; a).

 


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