Fonctions linéaires
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Objectifs
Les fonctions linéaires sont des fonctions
particulières. Elles traduisent des situations de
proportionnalité entre deux grandeurs.
Qu’est-ce-qu’une fonction linéaire ? Quelle est sa représentation graphique ?
Comment détermine-t-on graphiquement ou par calculs des images et des antécédents par une fonction linéaire ?
Qu’est-ce-qu’une fonction linéaire ? Quelle est sa représentation graphique ?
Comment détermine-t-on graphiquement ou par calculs des images et des antécédents par une fonction linéaire ?
1. Définition d'une fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction qui,
à tout nombre x, associe le nombre
ax , où a étant un nombre
quelconque donné.
a est appelé le coefficient de la fonction linéaire.
On notera cette fonction de manière équivalente :
ou f : x → ax ou f(x) = ax.
a est appelé le coefficient de la fonction linéaire.
On notera cette fonction de manière équivalente :
ou f : x → ax ou f(x) = ax.
Exemples :
• la fonction linéaire f de coefficient 3 se note f : x → 3x ou f(x) = 3x
• la fonction linéaire g de coefficient
se
note g : x → x ou g(x) = x.Remarques : pour toute fonction linéaire f de coefficient a, on a : f(0) = a × 0 = 0.
2. Calculs avec des fonctions linéaires
a. Images et antécédents par une fonction
linéaire
1) Déterminer l’image de –5 et 0 par la
fonction f : x → 4x.
* On a f(–5) = 4 × (–5) = –20 . Donc l’image de -5 par f est –20.
* De même f(0) = 0 . Donc l’image de 0 par f est 0.
2) Déterminer les antécédents de 0 et –10 par la fonction h de coefficient 5.
• Il s’agit de trouver le nombre x tel que h(x) = –10.
Or, h(x) = 5x donc 5x = –10 ; soit x =
= –2.
L’antécédent de –10 par h est –2.
• Toute fonction linéaire h est telle que h(0) = 0, donc l’unique antécédent de 0 par h est 0.
Remarque : par une fonction linéaire de coefficient a non nul, tout nombre possède un unique antécédent.
* On a f(–5) = 4 × (–5) = –20 . Donc l’image de -5 par f est –20.
* De même f(0) = 0 . Donc l’image de 0 par f est 0.
2) Déterminer les antécédents de 0 et –10 par la fonction h de coefficient 5.
• Il s’agit de trouver le nombre x tel que h(x) = –10.
Or, h(x) = 5x donc 5x = –10 ; soit x =
= –2.L’antécédent de –10 par h est –2.
• Toute fonction linéaire h est telle que h(0) = 0, donc l’unique antécédent de 0 par h est 0.
Remarque : par une fonction linéaire de coefficient a non nul, tout nombre possède un unique antécédent.
b. Détermination d'une fonction linéaire
Exemple : Déterminer la fonction
linéaire h telle que h(-1) = 4.
h est une fonction linéaire donc il existe un coefficient a tel que : h(x) = ax.
Donc h(-1) = a(-1) = -a.
Or, h(-1) = 4 .
Donc : -a = 4 , soit a = -4.
La fonction h est la fonction linéaire définie par : h(x) = -4x.
h est une fonction linéaire donc il existe un coefficient a tel que : h(x) = ax.
Donc h(-1) = a(-1) = -a.
Or, h(-1) = 4 .
Donc : -a = 4 , soit a = -4.
La fonction h est la fonction linéaire définie par : h(x) = -4x.
3. Représentation graphique d'une fonction
linéaire
La représentation graphique d’une
fonction linéaire est une droite passant
par l’origine du repère.
On dit que l’équation de la droite est : y = ax.
a est aussi appelé le coefficient directeur de cette droite.
On dit que l’équation de la droite est : y = ax.
a est aussi appelé le coefficient directeur de cette droite.
Exemples :
Remarque : La droite d’équation y = ax passe par le point A de coordonnées (1 ; a).
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