Notions de fonctions - Maxicours

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Notions de fonctions

Objectifs
Les fonctions sont des outils très puissants des mathématiques et qui interviennent dans de nombreux domaines de la vie courante. Elles permettent, par exemple, de généraliser des situations ou de résoudre des problèmes d’optimisation.
Qu’est-ce-qu’une fonction ? Comment noter une fonction ? Comment détermine t-on les images et les antécédents d’une fonction ?
1. Introduction aux fonctions
Une fonction est une « machine à transformer ».
Analogie : les distributeurs automatiques.
On introduit une pièce de monnaie et, par un mécanisme, on obtient une boisson ou une friandise.
Le distributeur automatique est une fonction ! Il transforme les pièces en objets de consommation.

En mathématiques, une fonction numérique est une « machine » qui transforme un nombre en un autre nombre.

Exemples :


a) La fonction qui transforme tout nombre en son carré.
Cette fonction transforme :
• 3 en 9 car 3² = 9
• -4 en 16 car (-4)² = 16
en car

b) La fonction qui transforme un nombre en son triple.
Cette fonction transforme :
• 5 en 15 car 3 × 5 = 15
• -1 en -3 car 3 × (-1) = -3
2. Notation des fonctions
Pour nommer une fonction, on utilise en général les lettres f, g ou h.

Remarque : On peut utiliser n’importe quelle autre lettre pour symboliser une fonction. Parfois, on utilisera une lettre significative pour une fonction, comme «p» pour une fonction de prix.

Exemples :

1) Soit f la fonction qui transforme un nombre x en son carré x².

On notera, de manière équivalente,  f : xx²  qui se lit : la fonction f qui, à «x», associe «x²»
Ou f(x) = x², et on lira:  f «de x» est égale à x²

2) Inversement, soit h la fonction telle que  h : x → 2x + 5 .
La fonction h transforme x en le doublant et en ajoutant 5 au résultat obtenu.

3) Ecrire une fonction qui donne le prix d’achat de pommes «en fonction du» nombre de kilogrammes de pommes achetés, sachant que 1kg vaut 2,80 €.
Soit p cette fonction. Si x est le nombre de kg de pommes achetées alors : p(x) = 2,8x
3. Image d'un nombre par une fonction
1) Soit f la fonction telle que  f : xx²

On a  f : 3 → 9   car   3² = 9
On dit que : 9 est l’image de 3 par la fonction f

De même,  f : -4 → 16 car (-4)² = 16
De même, on dit que : 16 est l’image de -4 par f


2) Soit g la fonction telle que : g(x) = 3x
Donner l’image de 5 et – 1 par g.

g(5) = 3 × 5 = 15 et g(-1) = 3 × (-1) = -3
Donc l’image de 5 par g est 15, et l'image de -1 par g est –3

Remarque : Tout nombre n’a, au plus, qu’une image par une fonction.
4. Antécédent d'un nombre par une fonction
1) Soit f la fonction telle que  f : xx²

On a f : 3 → 9 car 3² = 9
On dit que 3 est un antécédent de 9 par la fonction f

De même, f : -4 → 16 car (-4)² = 16
De même, on dit que -4 est un antécédent de 16 par f


2) Soit g la fonction telle que : g(x) = 3x
Donner un antécédent de 15 par g.

On sait que g(5) = 3 × 5 = 15
Donc 5 est un antécédent de 15 par g

Remarques :
• 4 est aussi un antécédent de 16 par f car 4² = 16.
Un même nombre peut donc avoir plusieurs antécédents par une même fonction.
• –9 ne peut avoir d’antécédent par f car il n’existe aucun nombre dont le carré est un nombre négatif.
Un nombre peut donc ne pas avoir d’antécédent par une fonction.

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