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Encadrer une fraction simple entre deux entiers

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Objectif

Comment encadrer une fraction entre deux nombres entiers consécutifs ?

Encadrer une fraction entre deux entiers les plus proches, c'est trouver le nombre entier inférieur à cette fraction et le nombre entier supérieur.

On commence d'abord par comparer le numérateur et le dénominateur.

Lorsque le numérateur et le dénominateur sont identiques, alors la fraction est égale à 1 :

;

1. Lorsque la fraction est inférieure à 1

Quand le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est inférieure à 1. Dans ce cas, l’encadrement se fait entre 0 et 1.

Exemple 1 :

6 < 9, on peut donc écrire l'encadrement suivant :

Exemple 2 :
Sur la demi-droite graduée ci-dessous, on a placé deux fractions :

.
Les numérateurs de ces fractions (1 et 4) sont plus petits que le dénominateur (6) donc ces deux fractions sont inférieures à 1.

On peut donc encadrer ces fractions de la façon suivante :

2. Lorsque la fraction est supérieure à 1

Quand le numérateur est supérieur au dénominateur, la fraction est supérieure à 1.

Pour encadrer une fraction supérieure à 1 :

On décompose la fraction en le plus grand nombre possible de fractions égales à 1.
La quantité obtenue constitue le nombre entier inférieur de l'encadrement.
Il suffit ensuite d'ajouter 1 à ce nombre pour avoir le nombre entier supérieur de l'encadrement.

Exemple :

Décomposons cette fraction pour trouver le plus grand nombre possible de fractions égales à 1.
On a : , c'est-à-dire soit .
On a donc :
Le premier nombre entier obtenu par décomposition est 5 : .
Pour obtenir le nombre entier supérieur le plus proche, on ajoute 1 (5 + 1 = 6).

On obtient l'encadrement suivant :

.
Sur la droite graduée suivante, on constate en effet que

Je retiens

Encadrer une fraction entre deux entiers les plus proches, c'est trouver le nombre entier inférieur à cette fraction et le nombre entier supérieur.

Il faut d'abord comparer le numérateur et le dénominateur :

quand le numérateur est plus petit que le dénominateur, alors la fraction est inférieure à 1 et l’encadrement se fait entre 0 et 1 ;
quand le numérateur est plus grand que le dénominateur, alors la fraction est supérieure à 1, il faut la décomposer pour trouver la partie entière qu'elle contient. Pour cela, on cherche le nombre de fractions égales à 1 qu'elle contient, ce qui permettra de trouver le nombre entier inférieur. Ensuite, on ajoute 1 à ce nombre pour trouver le nombre entier supérieur. On obtient ainsi un encadrement complet de la fraction.