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Encadrer un nombre entre deux multiples consécutifs

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Objectif

Être capable d'encadrer un nombre entre deux multiples consécutifs.

Points clés

On a souvent besoin d’encadrer un nombre entre deux multiples qui se suivent pour avoir une idée du résultat d’un problème ou pour résoudre une division. Dans ce cas, il faut se souvenir des particularités des multiples de 2, 3, 4, 5, 9, 10.

Parfois, pour effectuer un calcul mentalement ou pour effectuer une division, on a besoin d’encadrer un nombre entre deux multiples d’un autre nombre. Par exemple, imaginons qu’on nous demande combien de paquets de 8 bonbons on peut faire avec 75 bonbons. Au lieu de poser 75 ÷ 8 on peut trouver mentalement un encadrement du résultat.
Comment encadrer un nombre entre deux multiples consécutifs ?

1. Rappels sur les multiples

Un nombre A est le multiple d’un nombre B s’il est présent dans la table de multiplication de B, c’est-à-dire si on peut obtenir A en multipliant B par un nombre entier.

Exemple
48 est un multiple de 6 car on peut trouver 48 en multipliant 6 par un nombre entier : 6 × 8 = 48.

2. Encadrer entre deux multiples consécutifs

Exemple 1
Considérons le nombre 57. Il n’est pas un multiple de 2, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 mais on peut l’encadrer entre des multiples qui se suivent, c’est-à-dire trouver celui qui vient juste avant et celui qui vient juste après :

2 × 28 < 57 < 2 × 29 → 56 < 57 < 58 : encadrement entre deux multiples de 2
4 × 14 < 57 < 4 × 15 → 56 < 57 < 60 : encadrement entre deux multiples de 4
5 × 11 < 57 < 5 × 12 → 55 < 57 < 60 : encadrement entre deux multiples de 5
6 × 9 < 57 < 6 × 10 → 54 < 57 < 60 : encadrement entre deux multiples de 6
7 × 8 < 57 < 7 × 9 → 56 < 57 < 63 : encadrement entre deux multiples de 7
8 × 7 < 57 < 8 × 8 → 56 < 57 < 64 : encadrement entre deux multiples de 8
9 × 6 < 57 < 9 × 7 → 54 < 57 < 63 : encadrement entre deux multiples de 9
10 × 5 < 57 < 10 × 6 → 50 < 57 < 60 : encadrement entre deux multiples de 10

On remarque qu’on ne peut pas encadrer 57 entre deux multiples consécutifs de 3, tout simplement car 57 est lui-même un multiple de 3 : 3 × 19.

Exemple 2
Si on nous demande d’encadrer 117 entre deux multiples de 12, on doit chercher en réalité :
12 × ? < 117 < 12 × ?
12 × 9 < 117 < 12 × 10
108 < 117 < 120 : encadrement entre deux multiples de 12.

Si on prend l’exemple de départ : encadrons 75 entre deux multiples consécutifs de 8 :
8 × 9 < 75 < 8 × 10 → 72 < 75 < 80
Donc, on peut faire entre 9 et 10 paquets de 8 bonbons avec les 75 bonbons.

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