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Multiples et diviseurs

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Objectifs

Savoir reconnaitre un multiple et un diviseur.
Connaitre certains multiples et diviseurs.

Points clés

On dit qu’un nombre A est multiple d’un nombre B si l’on peut trouver A en multipliant B par un nombre entier. On dit alors aussi que B est un diviseur de A.
Certains multiples sont reconnaissables :
- Multiples de 2 : leur dernier chiffre est pair : 0, 2, 4, 6 ou 8.
- Multiples de 3 : la somme de leurs chiffres est égale à un multiple de 3.
- Multiples de 4 : leurs deux derniers chiffres forment un multiple de 4.
- Multiples de 5 : leur dernier chiffre est 0 ou 5.
- Multiples de 9 : la somme de leurs chiffres est égale à un multiple de 9
- Multiples de 10 : leur dernier chiffre est 0.

Certains nombres ont des relations particulières entre eux : ils sont des multiples ou des diviseurs. Savoir les identifier permet de calculer plus rapidement (mentalement ou en posant les calculs) et de résoudre des problèmes plus facilement.
Qu’est-ce qu’un multiple ? Qu’est-ce qu’un diviseur ? Comment les reconnaitre ? Quels sont les multiples et diviseurs à connaitre ?

1. Que signifient « multiple » et « diviseur » ?

Un nombre A est le multiple d’un nombre B s’il est présent dans la table de multiplication de B, c’est-à-dire si on peut obtenir A en multipliant B par un nombre entier.

Un nombre B est un diviseur du nombre A si lorsqu'on divise A par B, on obtient un nombre entier sans qu'il n'y ait de reste.

Si A est un multiple de B, alors B est un diviseur de A.

Exemples
48 est un multiple de 6 car on peut trouver 48 en multipliant 6 par un nombre entier : 6 × 8 = 48.
90 est aussi un multiple de 6, car 6 × 15 = 90 ; tout comme 342 car 6 × 57 = 342.
75 n’est pas un multiple de 6 car on ne peut obtenir 75 en multipliant 6 par un nombre entier.
6 est un diviseur de 48, de 90 et de 342 car on peut diviser ces nombres par 6 sans qu’il n'y ait de reste.

En résumé, prenons les nombres 48 et 6 :

48 est un multiple de 6 : 6 × 8 ;
6 est un diviseur de 48 : 48 ÷ 6 = 8 ;
48 est divisible par 6 : 48 ÷ 6 = 8.

2. Comment reconnaitre les multiples d'un nombre ?

Si le nombre n’est pas trop grand, il suffit de vérifier si ce nombre est présent dans la table de multiplication d’un autre nombre.

Exemple
On sait que 32 est un multiple de 8 car il est présent dans la table de 8 : 8 × 4 = 32.

Comment faire si le nombre est trop grand ?

Voici une façon de reconnaitre certains multiples :

Multiples de 2 : leur dernier chiffre est pair : 0, 2, 4, 6 ou 8.
Multiples de 3 : la somme de leurs chiffres est égale à un multiple de 3.
Multiples de 4 : leurs deux derniers chiffres forment un multiple de 4.
Multiples de 5 : leur dernier chiffre est 0 ou 5.
Multiples de 9 : la somme de leurs chiffres est égale à un multiple de 9.
Multiples de 10 : leur dernier chiffre est 0.

Exemple 1
Prenons le nombre 612 :

C’est un multiple de 2, car il se termine par un chiffre pair (2).
C’est un multiple de 3, car 6 + 1 + 2 = 9 et 9 est un multiple de 3 (c’est 3 × 3).
C’est un multiple de 4, car les deux derniers chiffres (12) forment un multiple de 4 (12 = 4 × 3).
Ce n’est pas un multiple de 5, car il ne se termine pas par 0 ou 5.
C’est un multiple de 9, car 6 + 1 + 2 = 9 et 9 est un multiple de 9 (c’est 1 × 9).
Ce n’est pas un multiple de 10, car il ne se termine pas par 0.

612 est donc un multiple de 2, 3, 4 et 9. On peut donc dire aussi que 2, 3, 4 et 9 sont des diviseurs de 612.

Exemple 2
Prenons le nombre 2320 :

C’est un multiple de 2 car il se termine par un chiffre pair (0).
Ce n’est pas un multiple de 3, car 2 + 3 + 2 + 0 = 7 , et 7 n’est pas dans la table de 3.
C’est un multiple de 4, car les deux derniers chiffres (20) forment un multiple de 4 (20 = 4 × 5).
C’est un multiple de 5, car il se termine par 0.
Ce n’est pas un multiple de 9, car 2 + 3 + 2 + 0 = 7, et 7 n’est pas dans la table de 9.
C’est un multiple de 10, car il se termine par 0.

2320 est donc un multiple de 2, 4, 5, et 10. On peut donc dire aussi que 2, 4, 5 et 10 sont des diviseurs de 2320.

3. Et pour les multiples de 6, 7 et 8 ?

Pour les multiples de 6, 7 et 8, il n’y a pas d’autre choix que de poser une division !

Si le quotient est un nombre entier et le reste 0, alors c’est un multiple.

Exemple
2528 est-il un multiple de 6, de 7 ou de 8 ?
2528 ÷ 6 = 421 (reste 6), donc 2528 n’est pas un multiple de 6.
2528 ÷ 7 = 361 (reste 1), donc 2528 n’est pas un multiple de 7.
2528 ÷ 8 = 316 (reste 0) donc 2528 est un multiple de 8.

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