Fonctions et proportionnalité - Maxicours

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Fonctions et proportionnalité

Objectif
Il existe un lien entre la proportionnalité et certaines fonctions. C’est le cas des fonctions linéaires et affines.
Quel est le lien entre une situation de proportionnalité et les fonctions linéaires ? Quel est le lien entre pourcentages et fonctions linéaires ? Comment déterminer une fonction affine grâce à la proportionnalité des accroissements ?
1. Fonctions linéaires et proportionnalité
a. Situation de proportionnalité
Une situation de proportionnalité de coefficient a peut être assimilée à une fonction linéaire de même coefficient.
Exemples : Le tableau suivant représente une situation de proportionnalité entre deux grandeurs. Le coefficient de proportionnalité est de 4.

Grandeurs A 2,3 6 15 21
Grandeurs B 9.2 24 60 84

On passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par 4.

La fonction linéaire associée à cette situation de proportionnalité est la fonction :
f
(x) = 4x

Ainsi, on retrouve grâce à cette fonction les mêmes résultats que dans le tableau de proportionnalité. Par exemple : f(2,3) = 4 × 2,3 = 9,2   et   f(6) = 4 × 6 = 24
b. Pourcentages
Les pourcentages représentent un cas particulier de la proportionnalité.

Prendre t% d’une quantité revient à multiplier ce nombre par

La fonction linéaire associée à cette opération est

Exemple : Prendre 30% de 140 correspond à chercher l’image de 140 par la fonction linéaire:
.

On obtient . Donc 30% de 140 donne 42.

Augmenter de t% une quantité

Si une quantité est augmentée de t%, alors la quantité finale est

Par conséquent, cela revient à multiplier la quantité initiale par .

La fonction linéaire associée à cette opération est

Exemple :
Augmenter 140 de 30% correspond à chercher l’image de 140 par la fonction linéaire:

On obtient . Donc augmenter 140 de 30% donne 182.


Diminuer de t% une quantité

Si une quantité est diminuée de t%, alors la quantité finale est

Par conséquent cela revient à multiplier la quantité initiale par .

La fonction linéaire associée à cette opération est

Exemple : Diminuer 140 de 30% correspond à chercher l’image de 140 par la fonction linéaire:
.

On obtient . Donc diminuer 140 de 30% donne 98.

2. Fonctions affines et proportionnalité
a. Proportionnalité des accroissements
Soit f une fonction affine donnée par f(x) = ax + b, avec a et b des nombres quelconques donnés. Soient x1 et x2 deux nombres quelconques (x1x2).

L’accroissement des images par une fonction affine, est proportionnel à l’accroissement des nombres associés.

Autrement dit : f(x2) – f(x1) est proportionnelle à x2x1
Par conséquent, il existe un nombre a non nul tel que f(x2) – f(x1) = a(x2x1)

Remarque :
Cette propriété de proportionnalité des accroissements permettra de calculer facilement le coefficient directeur a d’une fonction affine.

En effet puisque a est non nul et que f(x2) – f(x1) = a(x2x1) alors 
b. Détermination d'une fonction affine
Grâce à la propriété des accroissements vue précédemment, on peut déterminer facilement le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine d’une fonction affine.

Exemple : Déterminer la fonction affine f telle que f(–3) = –1 et f(1) = 2.
f est une fonction affine donc elle peut s’écrire sous la forme : f(x) = ax + b

Or d’après la propriété précédente, on a  
avec:   x1 = -3   et   x2 = 1

Donc:

De plus,

Donc , soit

Par conséquent la fonction affine cherchée est : 

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