Fonctions et proportionnalité
Objectif
Il existe un lien entre la proportionnalité et certaines
fonctions. C’est le cas des fonctions linéaires et
affines.
Quel est le lien entre une situation de proportionnalité et les fonctions linéaires ? Quel est le lien entre pourcentages et fonctions linéaires ? Comment déterminer une fonction affine grâce à la proportionnalité des accroissements ?
Quel est le lien entre une situation de proportionnalité et les fonctions linéaires ? Quel est le lien entre pourcentages et fonctions linéaires ? Comment déterminer une fonction affine grâce à la proportionnalité des accroissements ?
1. Fonctions linéaires et proportionnalité
a. Situation de proportionnalité
Une situation de proportionnalité de
coefficient a peut être
assimilée à une fonction linéaire de
même coefficient.
Exemples : Le tableau suivant
représente une situation de proportionnalité
entre deux grandeurs. Le coefficient de
proportionnalité est de 4.| Grandeurs A | 2,3 | 6 | 15 | 21 |
| Grandeurs B | 9.2 | 24 | 60 | 84 |
On passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par 4.
La fonction linéaire associée à cette situation de proportionnalité est la fonction :
f(x) = 4x
Ainsi, on retrouve grâce à cette fonction les mêmes résultats que dans le tableau de proportionnalité. Par exemple : f(2,3) = 4 × 2,3 = 9,2 et f(6) = 4 × 6 = 24
b. Pourcentages
Les pourcentages représentent un cas particulier de
la proportionnalité.
• Prendre t% d’une quantité revient à multiplier ce nombre par
La fonction linéaire associée à cette opération est
Exemple : Prendre 30% de 140 correspond à chercher l’image de 140 par la fonction linéaire:
.
On obtient
. Donc 30% de 140 donne 42.
• Augmenter de t% une quantité
Si une quantité
est
augmentée de t%, alors la quantité finale est
Par conséquent, cela revient à multiplier la quantité initiale
par
.
La fonction linéaire associée à cette opération est
Exemple : Augmenter 140 de 30% correspond à chercher l’image de 140 par la fonction linéaire:
On obtient
. Donc augmenter 140 de 30% donne 182.
• Diminuer de t% une quantité
Si une quantité
est
diminuée de t%, alors la quantité finale est
Par conséquent cela revient à multiplier la quantité initiale
par
.
La fonction linéaire associée à cette opération est
Exemple : Diminuer 140 de 30% correspond à chercher l’image de 140 par la fonction linéaire:
.
On obtient
. Donc diminuer 140 de 30% donne 98.
• Prendre t% d’une quantité revient à multiplier ce nombre par
La fonction linéaire associée à cette opération est
Exemple : Prendre 30% de 140 correspond à chercher l’image de 140 par la fonction linéaire:
.
On obtient
. Donc 30% de 140 donne 42.• Augmenter de t% une quantité
Si une quantité
est
augmentée de t%, alors la quantité finale est
Par conséquent, cela revient à multiplier la quantité initiale
par
.La fonction linéaire associée à cette opération est
Exemple : Augmenter 140 de 30% correspond à chercher l’image de 140 par la fonction linéaire:
On obtient
. Donc augmenter 140 de 30% donne 182.• Diminuer de t% une quantité
Si une quantité
est
diminuée de t%, alors la quantité finale est
Par conséquent cela revient à multiplier la quantité initiale
par
.La fonction linéaire associée à cette opération est
Exemple : Diminuer 140 de 30% correspond à chercher l’image de 140 par la fonction linéaire:
.
On obtient
. Donc diminuer 140 de 30% donne 98.
2. Fonctions affines et proportionnalité
a. Proportionnalité des accroissements
Soit f une fonction affine donnée par
f(x) = ax + b, avec a et
b des nombres quelconques donnés. Soient
x1 et x2 deux nombres
quelconques (x1
x2).
Remarque : Cette propriété de proportionnalité des accroissements permettra de calculer facilement le coefficient directeur a d’une fonction affine.
En effet puisque a est non nul et que f(x2) – f(x1) = a(x2 – x1) alors
x2).
L’accroissement des images par une
fonction affine, est proportionnel à
l’accroissement des nombres
associés.
Autrement dit : f(x2) – f(x1) est proportionnelle à x2 – x1
Par conséquent, il existe un nombre a non nul tel que f(x2) – f(x1) = a(x2 – x1)
Autrement dit : f(x2) – f(x1) est proportionnelle à x2 – x1
Par conséquent, il existe un nombre a non nul tel que f(x2) – f(x1) = a(x2 – x1)
Remarque : Cette propriété de proportionnalité des accroissements permettra de calculer facilement le coefficient directeur a d’une fonction affine.
En effet puisque a est non nul et que f(x2) – f(x1) = a(x2 – x1) alors
b. Détermination d'une fonction affine
Grâce à la propriété des
accroissements vue précédemment, on peut
déterminer facilement le coefficient
directeur et l’ordonnée à
l’origine d’une fonction affine.
Exemple : Déterminer la fonction affine f telle que f(–3) = –1 et f(1) = 2.
f est une fonction affine donc elle peut s’écrire sous la forme : f(x) = ax + b
Or d’après la propriété précédente, on a
avec: x1 = -3 et x2 = 1
Donc:
De plus,
Donc
, soit 
Par conséquent la fonction affine cherchée est :
Exemple : Déterminer la fonction affine f telle que f(–3) = –1 et f(1) = 2.
f est une fonction affine donc elle peut s’écrire sous la forme : f(x) = ax + b
Or d’après la propriété précédente, on a
avec: x1 = -3 et x2 = 1
Donc:
De plus,
Donc
, soit Par conséquent la fonction affine cherchée est :
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