Fonctions et proportionnalité
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Quel est le lien entre une situation de proportionnalité et les fonctions linéaires ? Quel est le lien entre pourcentages et fonctions linéaires ? Comment déterminer une fonction affine grâce à la proportionnalité des accroissements ?
| Grandeurs A | 2,3 | 6 | 15 | 21 |
| Grandeurs B | 9.2 | 24 | 60 | 84 |
On passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par 4.
La fonction linéaire associée à cette situation de proportionnalité est la fonction :
f(x) = 4x
Ainsi, on retrouve grâce à cette fonction les mêmes résultats que dans le tableau de proportionnalité. Par exemple : f(2,3) = 4 × 2,3 = 9,2 et f(6) = 4 × 6 = 24
• Prendre t% d’une quantité revient à multiplier ce nombre par
La fonction linéaire associée à cette opération est
Exemple : Prendre 30% de 140 correspond à chercher l’image de 140 par la fonction linéaire:
.
On obtient
. Donc 30% de 140 donne 42.• Augmenter de t% une quantité
Si une quantité
est
augmentée de t%, alors la quantité finale est
Par conséquent, cela revient à multiplier la quantité initiale
par
.La fonction linéaire associée à cette opération est
Exemple : Augmenter 140 de 30% correspond à chercher l’image de 140 par la fonction linéaire:
On obtient
. Donc augmenter 140 de 30% donne 182.• Diminuer de t% une quantité
Si une quantité
est
diminuée de t%, alors la quantité finale est
Par conséquent cela revient à multiplier la quantité initiale
par
.La fonction linéaire associée à cette opération est
Exemple : Diminuer 140 de 30% correspond à chercher l’image de 140 par la fonction linéaire:
.
On obtient
. Donc diminuer 140 de 30% donne 98.
x2).Autrement dit : f(x2) – f(x1) est proportionnelle à x2 – x1
Par conséquent, il existe un nombre a non nul tel que f(x2) – f(x1) = a(x2 – x1)
Remarque : Cette propriété de proportionnalité des accroissements permettra de calculer facilement le coefficient directeur a d’une fonction affine.
En effet puisque a est non nul et que f(x2) – f(x1) = a(x2 – x1) alors
Exemple : Déterminer la fonction affine f telle que f(–3) = –1 et f(1) = 2.
f est une fonction affine donc elle peut s’écrire sous la forme : f(x) = ax + b
Or d’après la propriété précédente, on a
avec: x1 = -3 et x2 = 1
Donc:
De plus,
Donc
, soit 
Par conséquent la fonction affine cherchée est :
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