Equations du premier degré à une inconnue - Maxicours

Equations du premier degré à une inconnue

Objectifs
Un problème peut être résolu grâce à l’utilisation d’une équation. Parmi celles-ci, les équations du premier degré à une inconnue sont les plus faciles à résoudre.
Comment poser un problème grâce à des équations ? Comment résoudre une équation du premier degré à une inconnue ?

1. Egalités et équations
Une égalité est une expression composée de 2 membres séparés par un signe =

Exemple :

On ne change pas une égalité si on additionne (ou soustrait) chacun de ses membres par un même nombre.
En écriture mathématique, on obtient, avec a, b et c, trois nombres quelconques :
Si   a = b   alors   a+c = b+c   et   a–c = b–c

Exemples:
Si   4 = x   alors   4 + 5 = x + 5   d'où   9 = x + 5
Si   z = 14   alors   z – 8 = 14 – 8 = 6


On ne change pas une égalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre.

En écriture mathématique : soient a, b des nombres quelconques et c un nombre non nul;
Si   a = b   alors   a × c = b × c   et    

Exemples :
Si   4 =    alors   3 × 4 = 3   d’où   12 = 3
Si   z = 28   alors   =    d’où   = 4

Une équation est une égalité comportant des nombres inconnus symbolisés par des lettres.

Exemples :
est une équation du premier degré à une inconnue
est une équation du second degré (car il y a des 2) à une inconnue x.
est une équation du premier degré à 2 inconnues  et

Au collège, nous n’étudierons que les équations du premier degré à une inconnue.
2. Résolution d'une équation du 1er degré à une inconnue
Résoudre une équation revient à chercher toutes les valeurs des inconnues pour que l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l’équation.

Exemple : 4 est solution de l’équation    car   3×4 –2 = 10

 
Remarque : les équations du premier degré n’ont qu’une seule solution ou aucune.
 

Résolution d’une équation du type    (a0 ; a et b sont des nombres donnés) :



La solution de l’équation est


Exemple : Résoudre
D’après le résultat précédent, la solution de cette équation est :

Grâce aux règles d’opérations sur les égalités, toute équation du premier degré peut se ramener à une équation du type  
(avec a et b des nombres quelconques et a0)


Exemple 1 : Résoudre

 

L'équation a pour unique solution


Exemple 2 : Résoudre



d'où:

Cette égalité est impossible donc l’équation n’a pas de solution.


Remarque : Afin de simplifier les manipulations d’équations, on effectue « de tête » certaines opérations sur les égalités.

En reprenant l’exemple 1, pour résoudre , on écrirait :

3. Mise en équation d'un problème
Problème: Martin organise une tombola. Pour cela, il dépense 3400€ pour acheter différents lots, et imprime un grand nombre de billets. S'il fixait le prix du billet à 3€, il perdrait autant d'argent qu'il n'en gagnerait en le mettant à 5€. Combien y a-t-il de billets?
Pour résoudre ce problème, il peut être intéressant de suivre la procédure suivante :
     a. Choix de l’inconnue
     b. Mise en équation du problème
     c. Résolution de l’équation
     d. Conclusion du problème
     e. Vérification du résultat

a. Choix de l’inconnue : Soit x le nombre de billets de tombola

b. Mise en équation :
En mettant le billet à 3€, il perdrait
En mettant le billet à 5€, il gagnerait
Comme il perdrait autant qu’il gagnerait, on a :

c. Résolution de l’équation :


d. Conclusion : Il y a 850 billets de tombola.

e. Vérification :
• Avec 850 billets à 3€ il récolterait 850×3 = 2550€ ( <3400€ : il gagnerait moins qu'il n'a dépensé).
Il perdrait alors 3400–2550=850€
• Avec 850 billets à 5€, il récolterait 850×5= 4250€. ( >3400€ : il ferait des bénéfices)
Au total, il gagnerait 4250–3400=850€. Ce résultat correspond bien aux données du problème.

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