Développements et factorisations - Maxicours

Développements et factorisations

Objectif
Une expression littérale peut être mise sous différentes formes suivant son utilité. Ainsi, les formes développées et factorisées répondent à des problématiques différentes (résolutions d’équations, calculs de valeurs d’une expression, simplifications d’écritures…).
Comment développer et factoriser certaines expressions littérales ?
1. Expressions littérales
Une expression littérale est une expression dans laquelle figure une ou plusieurs lettres. Chacune des lettres représente un nombre variable.

Exemples :
• (3 + 17) et (2a + 3b + 7) sont des expressions littérales
• les formules d’aires et de périmètres sont aussi des expressions littérales :
  dans un carré de côté c, Aire = c × c = c2 ; Périmètre = 4c

Valeur d’une expression littérale :
Exemple : calculer pour 2 , la valeur de l’expression littérale 2 + 
On remplace par –2 à chaque fois que apparait dans l’expression littérale :
A = (–2)2 + 3×(–2) - 7
A = 4 – 6 – 7
A = –9
2. Développer une expression littérale
Développer, c'est transformer un produit en une somme ou en une différence.
a. Développement de l'expression k(a+b) et k(a-b)
Avec k, a, et b des nombres quelconques, on a :
k × (a + b) = k × a + k × b
k × (a  b) = k × a  k × b
On a transformé le produit de k par (a + b) en une somme et le produit de k par (a – b) en une différence.
On dit que l'on a développé k × (a + b)   et  k × (a – b).

Exemples : 
3( + 7) = 3 + 3 × 7 = 3 + 21                       → on a développé cette expression par 3
–5(2-8) = –5 × 2 – 5×(–8) = -10 + 40        → on a développé l'expression par (–5)
b. Développement de l'expression (a+b)×(c+d)
Introduction géométrique :
Soit MNOP un rectangle découpé de la manière suivante :
 
Calculons l’aire du rectangle MNOP de 2 manières différentes :

Rappel : l’aire d’un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur.

• La longueur du rectangle MNOP est de (a + b) et sa largeur est de (c + d) donc :
Aire(MNOP) = (a + b)(c + d)

• l’aire du rectangle MNOP est égale à la somme des aires des rectangles de couleurs qui le compose :
Aire(MNOP) = Aire(JAUNE) + Aire(VERTE) + Aire(ROSE) + Aire(BLEUE)
 = ac + ad + bc + bd
De cette introduction, on en déduit que :
Si a, b, c et d sont des nombres relatifs, alors :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd


Exemple : Développer l'expression A
A = ( + 7)(3 – y)
A =  × 3 +  × (–y) + 7 × 3 + 7 × (–y)     → développement de l'expression
A = 3+ 21 – 7y                          → simplification d'écriture
3. Factoriser une expression littérale
Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en un produit.

En lisant les formules de distributivité précédentes (partie 2.a.) de la droite vers la gauche, on obtient :
k × a + k × b = k × (a + b)
k × a – k × b = k × (a – b)
On dit que l’on a factorisé l’expression par k

Exemple : Factoriser les expressions suivantes :
2 + 7 = (2+7) = 9              → factorisation par
3 – 9 = 3 – 3×3 = 3( –3)     → factorisation par 3

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