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Distance à une droite - Tangente à un cercle

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Objectifs
Une droite peut avoir plusieurs positions relatives à un cercle. L'une de ces positions caractérisera la tangente à ce cercle, car la distance du centre du cercle à sa tangente sera la plus courte distance de centre du cercle à cette tangente.
Comment définir la distance d’un point à une droite ? Qu’est ce qu’une droite tangente à un cercle ?

1. Distance d'un point à une droite
Sur le schéma suivant, on cherche la plus courte distance pour aller de A à la droite (d) :
Les points B, C, D et H appartiennent à la droite (d).
On remarque que les triangles ABH ; ACH ; ADH sont rectangles en H. Or dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus grand.
Donc les distances AB, AC et AD sont toutes plus grandes que AH.

On a alors la propriété suivante :
Propriété : Si A est un point extérieur à une droite (d) et H est le point d’intersection de (d) et de la perpendiculaire à (d) passant par A alors pour tout point M de la droite (d) : AH < AM
Conséquence : AH est la plus courte distance pour aller de A à un point de (d)
La distance AH est appelé la distance du point A à la droite (d)
2. Tangente à un cercle
Lorsque l’on regarde le nombre de points d’intersection d’une droite et d’un cercle, trois cas se présentent :

Définition: Lorsqu’un cercle et une droite n’ont qu’un seul point commun, on dit que la droite (d) est tangente au cercle.
Sur le 2ème schéma, on pourra dire que (d) est la tangente en A au cercle.

Propriété : Si (d) est tangente en un point A à un cercle de centre O, alors (OA) et (d) sont perpendiculaires.
Remarque : cette propriété permet de tracer précisément la tangente en un point à un cercle.

1ère étape : Sur un cercle de centre O, on place un point A et on trace le rayon [OA]

2ème étape : On trace avec l’équerre la perpendiculaire à [OA] passant par A. On prolonge et on obtient la tangente (d) en A à ce cercle :

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