Distance à une droite - Tangente à un cercle
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Objectifs
Une droite peut avoir plusieurs positions relatives à
un cercle. L'une de ces positions caractérisera la
tangente à ce cercle, car la distance du centre du
cercle à sa tangente sera la plus courte distance de
centre du cercle à cette tangente.
Comment définir la distance d’un point à une droite ? Qu’est ce qu’une droite tangente à un cercle ?
Comment définir la distance d’un point à une droite ? Qu’est ce qu’une droite tangente à un cercle ?
1. Distance d'un point à une droite
Sur le schéma suivant, on cherche la plus courte
distance pour aller de A à la droite (d) :
Les points B, C, D et H appartiennent à la
droite (d).
On remarque que les triangles ABH ; ACH ; ADH sont rectangles en H. Or dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus grand.
Donc les distances AB, AC et AD sont toutes plus grandes que AH.
On a alors la propriété suivante :
On remarque que les triangles ABH ; ACH ; ADH sont rectangles en H. Or dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus grand.
Donc les distances AB, AC et AD sont toutes plus grandes que AH.
On a alors la propriété suivante :
Propriété : Si A est un point
extérieur à une droite (d) et H est le
point d’intersection de (d) et de la
perpendiculaire à (d) passant par A alors pour
tout point M de la droite (d) : AH < AM
Conséquence : AH est la plus courte
distance pour aller de A à un point de (d)
La distance AH est appelé la distance du point A à la droite (d)
La distance AH est appelé la distance du point A à la droite (d)
2. Tangente à un cercle
Lorsque l’on regarde le nombre de points
d’intersection d’une droite et d’un
cercle, trois cas se présentent :
Remarque : cette propriété
permet de tracer précisément la
tangente en un point à un cercle.
1ère étape : Sur un cercle de centre O, on place un point A et on trace le rayon [OA]
2ème étape : On trace avec l’équerre la perpendiculaire à [OA] passant par A. On prolonge et on obtient la tangente (d) en A à ce cercle :
Définition: Lorsqu’un cercle et une
droite n’ont qu’un seul point commun,
on dit que la droite (d) est tangente au cercle.
Sur le 2ème schéma, on
pourra dire que (d) est la tangente en A au cercle.
Propriété : Si (d) est tangente en
un point A à un cercle de centre O, alors (OA) et
(d) sont perpendiculaires.
1ère étape : Sur un cercle de centre O, on place un point A et on trace le rayon [OA]
2ème étape : On trace avec l’équerre la perpendiculaire à [OA] passant par A. On prolonge et on obtient la tangente (d) en A à ce cercle :
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