Factorisation d'une expression
Objectifs
La factorisation permet de simplifier des expressions et de
résoudre des équations en les transformant en
équations-produits. La factorisation par un facteur
commun ou les identités remarquables sont les techniques
les plus utilisées.
Comment factoriser une expression avec un facteur commun ? Comment factoriser une expression avec des identités remarquables ?
Comment factoriser une expression avec un facteur commun ? Comment factoriser une expression avec des identités remarquables ?
1. Factorisation d'une expression
Factoriser une expression numérique ou
littérale, c’est l’écrire sous
la forme d’un produit.
Exemple d'expression factorisée :
|
L'expression (3x – 7)(2x + 4) est
factorisée car elle n'est composée que d'un seul terme qui comporte DEUX facteurs |
Exemples d'expressions non factorisées :
Les expressions possèdent deux termes (séparés par un + ou un – ) comportant chacun deux facteurs.
2. Factorisation par facteur commun
Rappel :
k × a + k × b = k × (a + b)
k × a – k × b = k × (a – b)
avec k, a et b trois nombres quelconques.
k × a – k × b = k × (a – b)
avec k, a et b trois nombres quelconques.
On dit que l’on a factorisé par k. On dit aussi que k est un facteur commun.
a. Facteur commun « évident »
Dans certains cas, on peut appliquer directement le
rappel précédent :
Exemple 1 : factoriser l’expression
On a factorisé par (2x + 3) l’expression E en un produit de 2 facteurs.
Exemple 2 : factoriser l’expression
On a factorisé par 2 l’expression F en un produit de 2 facteurs, dont un à 3 termes.
Exemple 1 : factoriser l’expression
On a factorisé par (2x + 3) l’expression E en un produit de 2 facteurs.
Exemple 2 : factoriser l’expression
On a factorisé par 2 l’expression F en un produit de 2 facteurs, dont un à 3 termes.
b. Facteur commun « caché »
Parfois, le facteur commun n’est pas apparent. La
première étape de calcul va alors consister
à le faire apparaitre.
1. Factoriser l’expression
On remarque que
. On
peut donc réécrire l’expression sous la
forme 
Le facteur (x – 2) est commun aux deux termes ;
par conséquent :
2. Factoriser l’expression
On remarque que
. On peut donc réécrire l’expression sous
la forme 
.
Le facteur (3x + 5) est commun aux deux termes ;
par conséquent :
1. Factoriser l’expression
On remarque que
. On
peut donc réécrire l’expression sous la
forme Le facteur (x – 2) est commun aux deux termes ;
par conséquent :
2. Factoriser l’expression
On remarque que
. On peut donc réécrire l’expression sous
la forme .Le facteur (3x + 5) est commun aux deux termes ;
par conséquent :
3. Factorisation par identités remarquables
Les identités remarquables rencontrées
lors des développements vont aussi nous permettre
de factoriser des expressions. Pour cela, il suffit
d’inverser ces formules de développement.
On obtient les formules suivantes :
On obtient les formules suivantes :
Exemples :
1. Factoriser
On reconnaît la deuxième identité remarquable en posant : a = x et b = 3.
2. Factoriser
On remarque que 81 = 92 ; on peut donc utiliser la première identité remarquable en posant :
a = 2x – 1 et b = 9.
3. Factoriser
On remarque que
et on utilise la première identité
remarquable en posant :a = 2 – 3x et b =
.
Remarques :
• Le plus souvent, on factorise avec un facteur commun ou l'identité remarquable
.• Factoriser une expression est très utile pour résoudre des équations-produits.
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