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Symétrie centrale

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Objectif
La notion de symétrie est très ancienne et fut inspirée par les éléments de la nature tels que les astres, les fleurs, le corps humain... Parmi les symétries, la symétrie centrale se construit à partir d’un point.
Qu’est ce que le symétrique d’une figure et comment trace-t-on les symétriques des figures de base telles que le point, le segment, la droite, le cercle… ?
1. Figures symétriques par rapport à un point
Deux figures sont symétriques par rapport à O lorsque l’on passe de l’une à l’autre par un demi-tour autour de O.
On dit aussi que les deux figures sont l’image l’une de l’autre.




O est appelé le centre de la symétrie.
2. Symétrique d'un point
Soit M un point et M’ le symétrique de M par la symétrie de centre O.

M’ est obtenu en effectuant un demi-tour autour de O.



Conséquence : Si M’ est symétrique de M par la symétrie de centre O alors O est milieu de [MM’].

Remarque :
Le symétrique du point O est le point O lui-même.


Méthode de construction : Pour tracer le symétrique M’ de M par rapport à O, on trace à la règle la droite (MO) et on reporte au compas la distance OM de « l’autre côté » de O. On obtient ainsi le point M' symétrique de M par rapport à O.


3. Symétrique de figures usuelles
a. La droite
Le symétrique d’une droite (d) est une droite (d’) parallèle à (d).

Méthode de construction : On choisit deux points au hasard sur la droite. On trace le symétrique de chacun de ces deux points, puis la droite (M’N’).


b. La demi-droite
Le symétrique d’une demi-droite d’origine M est une demi-droite parallèle d’origine M’ symétrique de M.

Méthode de construction :
On choisit un point N au hasard sur la demi-droite. On trace le symétrique de l’origine M et du point N puis la demi-droite symétrique [M’N’).


c. Le segment
Le symétrique d’un segment est un segment parallèle de même longueur.

Méthode de construction : On trace le symétrique de chacune des deux extrémités du segment puis on trace le segment [M’N’].



d. Le cercle
Le symétrique d’un cercle de centre I est un cercle de centre I’ (symétrique de I) et de même rayon.

Méthode de construction : On trace le symétrique I’ de I (centre du cercle) puis le cercle de centre I’ et de même rayon.


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