Inégalité triangulaire et construction de triangle - Maxicours

Inégalité triangulaire et construction de triangle

Objectifs
Les triangles sont constructibles seulement s’ils respectent l’inégalité triangulaire.
Comment vérifie-t-on l’inégalité triangulaire ? Comment construire un triangle connaissant ses 3 côtés ou 2 côtés et un angle ou encore 2 angles et un côté ?
1. Construction d'un triangle connaissant ses 3 côtés
Pour construire un triangle connaissant ses 3 côtés, il est souvent plus facile de tracer en premier le plus grand côté.

Exemple
Construire un triangle ABC tel que AB = 8 cm ; AC = 6 cm et BC = 4 cm.


Question
Peut-on toujours appliquer cette méthode ?

Exemple
Construire le triangle ABC tel que AB = 10 cm, AC = 6 cm et BC = 3 cm.
En appliquant la méthode ci-dessus, on obtient le schéma suivant :

Les deux arcs de cercle ne se coupent pas. On ne peut pas trouver un point C à la fois à 6 cm de A et à 3 cm de B.


2. Inégalité triangulaire
Soit A, B et C trois points.
Si C n’appartient pas à la droite (AB) alors ABC forme un triangle et on a :
• AB AC BC ;
• AC AB BC ;
• BC AB AC.
Autrement dit, dans un triangle, chaque côté est plus petit que la somme des deux autres côtés ; ce qui revient à dire que le chemin le plus court pour aller d’un point à un autre est la ligne droite.

Exemple
Dans le triangle ABC tracé dans le premier paragraphe, (AB = 8 cm ; AC = 6 cm et BC = 4 cm) on a :
• AB AC BC car 8 < 6 + 4 ;
• AC AB BC car 6 < 8 + 4 ;
• BC AB AC car 4 < 8 + 6.

En pratique, un triangle est constructible si son plus grand côté est plus petit que la somme des deux autres.
Si C appartient à [AB], alors on a :
AB AC CB.
3. Construction de triangles connaissant des angles
a. Avec deux longueurs et un angle
Exemple
Tracer un triangle ABC tel que AB = 8 cm ; AC = 5 cm et  = 55°. 

b. Avec deux angles et une longueur
Exemple
Tracer un triangle ABC tel que AB = 8 cm ; et  = 45° et  = 25°.

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