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Inégalité triangulaire et construction de triangle

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Objectifs

Les triangles sont constructibles seulement s’ils respectent l’inégalité triangulaire.
Comment vérifie-t-on l’inégalité triangulaire ? Comment construire un triangle connaissant ses 3 côtés ou 2 côtés et un angle ou encore 2 angles et un côté ?

1. Construction d'un triangle connaissant ses 3 côtés

Pour construire un triangle connaissant ses 3 côtés, il est souvent plus facile de tracer en premier le plus grand côté.

Exemple
Construire un triangle ABC tel que AB = 8 cm ; AC = 6 cm et BC = 4 cm.

Question
Peut-on toujours appliquer cette méthode ?

Exemple
Construire le triangle ABC tel que AB = 10 cm, AC = 6 cm et BC = 3 cm.
En appliquant la méthode ci-dessus, on obtient le schéma suivant :

Les deux arcs de cercle ne se coupent pas. On ne peut pas trouver un point C à la fois à 6 cm de A et à 3 cm de B.

2. Inégalité triangulaire

Soit A, B et C trois points.

Si C n’appartient pas à la droite (AB) alors ABC forme un triangle et on a :
• AB < AC + BC ;
• AC < AB + BC ;
• BC < AB + AC.

Autrement dit, dans un triangle, chaque côté est plus petit que la somme des deux autres côtés ; ce qui revient à dire que le chemin le plus court pour aller d’un point à un autre est la ligne droite.

Exemple
Dans le triangle ABC tracé dans le premier paragraphe, (AB = 8 cm ; AC = 6 cm et BC = 4 cm) on a :
• AB < AC + BC car 8 < 6 + 4 ;
• AC < AB + BC car 6 < 8 + 4 ;
• BC < AB + AC car 4 < 8 + 6.

En pratique, un triangle est constructible si son plus grand côté est plus petit que la somme des deux autres.

Si C appartient à [AB], alors on a :
AB = AC + CB.