Prismes droits
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Objectifs
Les prismes droits sont des solides très
présents parmi les objets de la vie courante :
emballages divers, objets de décoration…
Quelles sont les caractéristiques du prisme droit ? Comment le représenter en perspective cavalière, construire son patron, calculer son aire latérale et son volume ?
Quelles sont les caractéristiques du prisme droit ? Comment le représenter en perspective cavalière, construire son patron, calculer son aire latérale et son volume ?
1. Perspective cavalière
Afin de représenter des objets de l’espace
dans le plan, il existe plusieurs techniques. La plus
utilisée en géométrie est la
perspective cavalière.

Sur le schéma ci-dessus, les segments [BF], [FG] et [FE] sont cachés en réalité mais sont en pointillés dans cette représentation. Par conséquent, la face ADHE est « à l’avant » et la face BCGF est « à l’arrière ».

Sur le schéma ci-dessus, les segments [AD], [DC] et [DH] sont cachés en réalité mais sont en pointillés dans cette représentation. Par conséquent, la face BCGF est « à l’avant » et la face ADHE est « à l’arrière ».
Dans chacun de ces cas, les droites parallèles sur le schéma le sont dans la réalité.
Remarque
Les segments qui vont de l’avant vers l’arrière sont représentés en perspective cavalière plus court que dans la réalité. C’est le cas par exemple des segments [DC] et [EF].
Les angles droits des faces ABCD, EFGH, CDHG et ABFE sont déformés.
En perspective cavalière, les arêtes
cachées en
réalité sont représentées
en
pointillés et
les droites
parallèles en
réalité sont représentées
parallèles.
Exemples
Sur le schéma ci-dessus, les segments [BF], [FG] et [FE] sont cachés en réalité mais sont en pointillés dans cette représentation. Par conséquent, la face ADHE est « à l’avant » et la face BCGF est « à l’arrière ».

Sur le schéma ci-dessus, les segments [AD], [DC] et [DH] sont cachés en réalité mais sont en pointillés dans cette représentation. Par conséquent, la face BCGF est « à l’avant » et la face ADHE est « à l’arrière ».
Dans chacun de ces cas, les droites parallèles sur le schéma le sont dans la réalité.
Remarque
Les segments qui vont de l’avant vers l’arrière sont représentés en perspective cavalière plus court que dans la réalité. C’est le cas par exemple des segments [DC] et [EF].
Les angles droits des faces ABCD, EFGH, CDHG et ABFE sont déformés.
2. Prisme droit
Un prisme droit est un solide. Il est
composé :
• de deux bases identiques qui sont des polygones ;
• de deux bases identiques qui sont des polygones ;
• Dans un prisme droit, il y a autant de faces latérales que de côtés qui forment la base du prisme.
• Les arêtes latérales d'un prisme droit sont parallèles et de même longueur.
• Le parallélépipède rectangle (voir les schémas du premier paragraphe) est un prisme particulier dont la base est un rectangle.
3. Patron du prisme droit
Exemple
Tracer le patron du prisme droit ci-dessous.
Pour cela, on met « à plat » chacune des faces du prisme. On obtient par exemple :
Afin de reconstituer le prisme droit, on colle les
segments ayant le même codage.
Tracer le patron du prisme droit ci-dessous.

Pour cela, on met « à plat » chacune des faces du prisme. On obtient par exemple :

4. Aire latérale
On appelle hauteur du prisme la longueur
de ses arêtes latérales.

L’aire latérale d’un
prisme est égale à la somme des aires de
chacune des faces latérales.
Les rectangles ont la même longueur ; elle
correspond à la hauteur du prisme. On a donc :
Sur le schéma suivant, les bases sont des triangles et la hauteur du prisme est CF = 7 cm.
Calculer l’aire latérale en retrouvant la formule ci-dessus.

Aire latérale = Aire (ACFE) + Aire (CFDB) + Aire (ABDE)
Aire latérale = 3 × 7 + 4 × 7 + 5 × 7
Aire latérale = (3 + 4 + 5) × 7
Aire latérale = périmètre de ACB × hauteur.
Le périmètre de la base est :
P = 3 + 4 + 5 = 12 cm. Donc l’aire latérale de ce prisme est :
Aire latérale = 12 × 7 = 84 cm².
5. Volume
Le volume d’un prisme droit est
donné par :
V = A × h.
A est l’aire de la base et h
la hauteur du prisme.Exemple
Calculer le volume du prisme droit ci-dessous sachant que ABC est un triangle rectangle en C.

La base étant un triangle rectangle, on a :
Aire de la base = (3 × 4) ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 cm².
Donc le volume de ce prisme droit est :
V = 6 × 7 = 42 cm3.
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