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Equations-produits

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Objectifs

Certaines équations d’un degré supérieur à 1 peuvent être résolues par factorisation. On obtient ainsi des équations produits que l’on peut résoudre grâce aux équations du premier degré.
Qu’est-ce-qu’une équation produit ? Comment en résoudre ?

1. Equations produit

Une équation produit est une équation de la forme :

où x est l’inconnue et a, b, c et d sont quatre nombres fixes donnés.

Exemples d’équations produit :
1. x (3 – 5x) = 0. En effet, ici a = 1 et b = 0
2. (3 + x)(5x + 7) = 0
3. (2x – 5)² = 0. En effet, (2x – 5)² = (2x – 5)(2x – 5)

Remarques :
• On pourrait aussi avoir plus de 2 facteurs dans une équation produit.
• Une équation produit, comme dans les exemples ci-dessus, est une équation du deuxième degré. On peut s’en rendre compte en développant ces équations :
(3 + x)(5x + 7) = 15x + 21 + 5x² + 7x = 5x² + 22x + 21 = 0
• On notera que les facteurs d’une équation produit sont des expressions du premier degré (absence de puissance de x supérieure à 1)

2. Résolution des équations produits

Propriété : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul.

A × B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0

Conséquences :

Résolution des équations produits : Si (ax + b)(cx + d) = 0 alors, d’après la propriété précédente,
ax + b = 0 ou cx + d = 0

Résoudre une équation produit revient à résoudre deux équations du premier degré.

a. Si les équations sont déjà factorisées en équations-produits

Exemple 1 : Résoudre l’équation x (3 – 5x) = 0 .
Cette équation est composée de 2 facteurs x et (3 – 5x).
D’après la propriété précédente, on a : x = 0 ou 3 – 5x = 0
Soit 5x = 3 donc

Les solutions de l’équation sont les nombres 0 et

.

Exemple 2 : Résoudre l’équation (3 + x)(5x + 7) = 0 .
On trouve 3 + x = 0 ou 5x + 7 = 0 .
Alors on a : x = –3 ou 5x = –7 soit x =

Les solutions de l’équation sont les nombres –3 et

b. Si les équations ne sont pas encore factorisées

Dans ce cas, la première étape va consister à factoriser l'équation pour obtenir une équation produit. On factorise la plupart des équations grâce à un facteur commun ou à des identités remarquables :

• Facteur commun

Résoudre l’équation (3x + 7)(2x + 8) + (–5x + 4)(3x + 7) = 0

1^ère étape : Factorisation
Cette équation est composée de 2 termes de 2 facteurs. (3x + 7) est un facteur commun aux deux termes. On peut donc le mettre en facteur : (3x + 7) [(2x + 8) + (–5x + 4)] = 0
Soit, en simplifiant : (3x + 7) (2x + 8 – 5x + 4) = 0 d’où (3x + 7) (–3x + 12) = 0

2^ème étape : Résolution de l’équation produit
3x + 7 = 0 ou –3x + 12 = 0 soit 3x = – 7 ou –3x = –12
Soit x =

ou x =

= 4
Les solutions de l’équation sont

et 4.

• Identités remarquables

Exemple 1 : Résoudre l’équation x² – 36 = 0.
On sait que x² – 36 = x² – 6² = (x – 6)(x + 6).
Donc l’équation proposée est équivalente à (x – 6)(x + 6) = 0, donc x = 6 ou x = –6 .
Les solutions de l’équation sont les nombres 6 et –6.

Exemple 2 : Résoudre l’équation x² + 6x + 9 = 0
On sait que x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Donc l’équation proposée est équivalente à (x + 3)² = 0
donc (x + 3) = 0, c’est-à-dire x = –3 .
La solution de l’équation x² + 6x + 9 = 0 est le nombre –3.

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