Equations-produits

Exemple 1 :  Résoudre l’équation x (3 – 5x) = 0 .
Cette équation est composée de 2 facteurs x et (3 – 5x).
D’après la propriété précédente, on a : x = 0   ou   3 – 5x = 0
Soit  5x = 3   donc  
Les solutions de l’équation sont les nombres 0 et .

Exemple 2 :  Résoudre l’équation (3 + x)(5x + 7) = 0 .
On trouve 3 + x = 0   ou   5x + 7 = 0 .
Alors on a :  x = –3   ou   5x = –7   soit x =
Les solutions de l’équation sont les nombres –3 et .

Dans ce cas, la première étape va consister à factoriser l'équation pour obtenir une équation produit. On factorise la plupart des équations grâce à un facteur commun ou à des identités remarquables :

• Facteur commun

Résoudre l’équation (3x + 7)(2x + 8) + (–5x + 4)(3x + 7) = 0

1^ère étape : Factorisation
Cette équation est composée de 2 termes de 2 facteurs. (3x + 7) est un facteur commun aux deux termes. On peut donc le mettre en facteur : (3x + 7) [(2x + 8) + (–5x + 4)] = 0
Soit, en simplifiant : (3x + 7) (2x + 8 – 5x + 4) = 0 d’où (3x + 7) (–3x + 12) = 0

2^ème étape : Résolution de l’équation produit
3x + 7 = 0   ou   –3x + 12 = 0   soit   3x = – 7   ou   –3x = –12
Soit   x =    ou   x = = 4
Les solutions de l’équation sont et 4.


• Identités remarquables

Exemple 1 : Résoudre l’équation x² – 36 = 0.
On sait que x² – 36 = x² – 6² = (x – 6)(x + 6).
Donc l’équation proposée est équivalente à (x – 6)(x + 6) = 0, donc   x = 6   ou   x = –6 .
Les solutions de l’équation sont les nombres 6 et –6.

Exemple 2 : Résoudre l’équation x² + 6x + 9 = 0
On sait que x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Donc l’équation proposée est équivalente à (x + 3)² = 0
donc (x + 3) = 0, c’est-à-dire x = –3 .
La solution de l’équation x² + 6x + 9 = 0 est le nombre –3.