Equations-produits - Maxicours

Equations-produits

Objectifs
Certaines équations d’un degré supérieur à 1 peuvent être résolues par factorisation. On obtient ainsi des équations produits que l’on peut résoudre grâce aux équations du premier degré.
Qu’est-ce-qu’une équation produit ? Comment en résoudre ?
1. Equations produit
Une équation produit est une équation de la forme :
x est l’inconnue et a, b, c et d sont quatre nombres fixes donnés.
Exemples d’équations produit :
1. x (3 – 5x) = 0. En effet, ici a = 1 et b = 0
2. (3 + x)(5x + 7) = 0
3. (2x – 5)2 = 0. En effet, (2x – 5)2 = (2x – 5)(2x – 5)

Remarques :
• On pourrait aussi avoir plus de 2 facteurs dans une équation produit.
• Une équation produit, comme dans les exemples ci-dessus, est une équation du deuxième degré. On peut s’en rendre compte en développant ces équations :
(3 + x)(5x + 7) = 15x + 21 + 5x2 + 7x = 5x2 + 22x + 21 = 0
• On notera que les facteurs d’une équation produit sont des expressions du premier degré (absence de puissance de x supérieure à 1)
2. Résolution des équations produits
Propriété : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul.

                                       A × B = 0
si et seulement si A = 0  ou  B = 0

Conséquences :
Résolution des équations produits : Si (ax + b)(cx + d) = 0  alors, d’après la propriété précédente,
                                                                      ax + b = 0   ou   cx + d = 0

Résoudre une équation produit
revient à résoudre deux équations du premier degré.
a. Si les équations sont déjà factorisées en équations-produits
Exemple 1 :  Résoudre l’équation x (3 – 5x) = 0 .
Cette équation est composée de 2 facteurs x et (3 – 5x).
D’après la propriété précédente, on a : x = 0   ou   3 – 5x = 0
Soit  5x = 3   donc  
Les solutions de l’équation sont les nombres 0 et .

Exemple 2 :  Résoudre l’équation (3 + x)(5x + 7) = 0 .
On trouve 3 + x = 0   ou   5x + 7 = 0 .
Alors on a :  x = –3   ou   5x = –7   soit x =
Les solutions de l’équation sont les nombres –3 et .

b. Si les équations ne sont pas encore factorisées
Dans ce cas, la première étape va consister à factoriser l'équation pour obtenir une équation produit. On factorise la plupart des équations grâce à un facteur commun ou à des identités remarquables :

Facteur commun

Résoudre l’équation (3x + 7)(2x + 8) + (–5x + 4)(3x + 7) = 0

1ère étape : Factorisation
Cette équation est composée de 2 termes de 2 facteurs. (3x + 7) est un facteur commun aux deux termes. On peut donc le mettre en facteur : (3x + 7) [(2x + 8) + (–5x + 4)] = 0
Soit, en simplifiant : (3x + 7) (2x + 8 – 5x + 4) = 0 d’où (3x + 7) (–3x + 12) = 0

2ème étape : Résolution de l’équation produit
3x + 7 = 0   ou   –3x + 12 = 0   soit   3x = – 7   ou   –3x = –12
Soit   x =    ou   x = = 4
Les solutions de l’équation sont et 4.


Identités remarquables

Exemple 1 :
Résoudre l’équation x2 – 36 = 0.
On sait que x2 – 36 = x2 – 62 = (x – 6)(x + 6).
Donc l’équation proposée est équivalente à (x – 6)(x + 6) = 0, donc   x = 6   ou   x = –6 .
Les solutions de l’équation sont les nombres 6 et –6.

Exemple 2 : Résoudre l’équation x2 + 6x + 9 = 0
On sait que x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Donc l’équation proposée est équivalente à (x + 3)2 = 0
donc (x + 3) = 0, c’est-à-dire x = –3 .
La solution de l’équation x2 + 6x + 9 = 0 est le nombre –3.

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