Fractions irréductibles
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Objectif
Le PGCD de 2 nombres entiers permet de mettre les fractions
sous forme irréductible.
Comment simplifier des fractions grâce aux critères de divisibilité ou au PGCD ?
Comment simplifier des fractions grâce aux critères de divisibilité ou au PGCD ?
1. Simplifications de fractions
On dit que l’on simplifie une
fraction lorsqu’on l’écrit avec
un numérateur et un dénominateur plus petits.
En pratique, cela revient à diviser le
numérateur et le dénominateur par un même
nombre.Exemple : simplifier

15 et 75 sont divisibles par 5 car leurs chiffres des unités est 5. On a donc :


Remarque : On peut présenter la simplification d’une fraction en barrant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.

2. Fractions irréductibles
Une fraction est irréductible
lorsque l’on ne peut plus la simplifier.
Exemple :
Remarque : on peut donc rendre une fraction irréductible en connaissant les critères de divisibilité.
Définition équivalente : Une fraction
est
irréductible si le PGCD (a ;
b) = 1
Autrement dit : Une fraction
est irréductible si a et b sont premiers entre
eux.

Autrement dit : Une fraction

Exemple :

Propriété : Si on divise le
numérateur et le dénominateur d’une
fraction
par
le PGCD(a ; b), alors la fraction
obtenue est irréductible.

Application : Rendre la fraction

1ère étape : Calcul du PGCD par algorithme d’Euclide
• On effectue la division euclidienne de 10608 par 391.
On obtient : 10608 = 27 × 391 + 51
• Puis : 391 = 7 × 51 + 34
• Puis 51 = 1 × 34 + 17
• Puis 34 = 2 × 17 + 0
Donc PGCD (10608 ; 391) = 17 (car 17 est le dernier reste non nul)
2ème étape : simplification de fractions :


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