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Les parallélogrammes : généralités

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Objectifs

Parmi les quadrilatères, les parallélogrammes se distinguent par certaines propriétés sur les côtés ou les diagonales.
Comment définir un parallélogramme ? Quelles propriétés particulières le distinguent des autres quadrilatères ?

1. Définition

Rappel : Un quadrilatère est une figure géométrique qui a 4 côtés (quadri = quatre).

Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a un centre de symétrie.
Le centre de symétrie de ce parallélogramme est le point d’intersection de ses diagonales.

O est le centre de symétrie du parallélogramme ABCD.

Remarque : Pour nommer un parallélogramme, on lit puis on écrit, sans croiser, ses sommets dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse.
De cette manière le parallélogramme ci-dessus s'écrit ABCD ou ADCB ou BCDA ou BADC…

Par contre ABDC donnerait le parallélogramme suivant :

2. Propriétés

a. Les côtés

• Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux.

• Les côtés opposés d’un parallélogramme sont de même longueur deux à deux.

b. Les angles

• Les angles opposés d’un parallélogramme sont de même mesure.
• Les angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires.

c. Les diagonales

Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Le point d’intersection des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.

3. Caractérisation d'un parallélogramme

Les propriétés de caractérisation du parallélogramme sont les propriétés réciproques du paragraphe précédent.

a. Caractérisation par les côtés

Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux alors c’est un parallélogramme.

Exemple
(d₁) et (d₂) sont deux droites parallèles. (d₃) et (d₄) sont aussi parallèles et coupent (d₁) et (d₂) en des points A, B, C et D comme ci-dessous :

Les côtés opposés [AB] et [CD] ainsi que [AD] et [BC] sont parallèles donc ABCD est un parallélogramme.

Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c’est un parallélogramme.

Exemple
Les segments [AB] et [CD] sont de même longueur et parallèles alors ABDC est un parallélogramme.

b. Caractérisation par les diagonales

Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme.

Exemple
Soit O le milieu d’un segment [AB] et C un point non aligné avec A et B. Soit D le symétrique de C par rapport à O.

D est le symétrique de C par rapport à O donc O est le milieu de [CD]. Les diagonales du quadrilatère ADBC sont coupent en leur milieu O donc c’est un parallélogramme.