Réciproque du théorème de Thalès - Cours de Mathématiques avec Maxicours - Collège

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Réciproque du théorème de Thalès

Objectif
Dans certaines configurations particulières dites de « Thalès », on peut démontrer que deux droites sont parallèles.
Comment démontrer, avec la réciproque du théorème de Thalès, que deux droites sont parallèles ?
1. Configurations de Thalès
On appelle configuration de Thalès une figure telle que :
  • ABC et AMN sont deux triangles ;
  • M ∈ (AB) ;
  • N ∈ (AC) ;
  • M et N sont du même côté de (BC).

Il y a trois cas :
2. Réciproque du théorème de Thalès
Si les triangles ABC et AMN sont en configuration de Thalès, et si , alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Exemple  :
Sur la figure ci-contre, AM = 4,2 cm ; AC = 2,8 cm ; AB = 2,1 cm ; et AN = 5,6 cm.
A est le point d’intersection des droites (MB) et (NC).
Les points A, B et M d’une part et A, C et N d’autre part sont dans le même ordre.

D’une part, et d’autre part, .
on en déduit que : .

Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Remarques :
  • La réciproque du théorème de Thalès sert donc à démontrer que 2 droites sont parallèles
  • Chaque hypothèse est importante. La figure ci-dessous correspond aux mêmes données que l’exemple précédent (on a toujours AC = 2,8 cm), mais les points ne sont plus dans le bon ordre, et visuellement, on peut remarquer que les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
  • Seule l’égalité des deux premiers rapports est à calculer.
Cas particulier : Si M est milieu de [AB] et N est le milieu de [AC], alors on retrouve les théorèmes de la droite des milieux. Dans ce cas, on a :
.

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