Bissectrices et cercle inscrit dans un triangle

  donc (Ay) est la bissectrice de l’angle

Remarque : la bissectrice d’un angle est un axe de symétrie pour cet angle.
B et B’ sont symétriques par rapport à la bissectrice (Ay)
On a MH = MH’

Remarque : De la propriété précédente, on en déduit que la bissectrice d’un angle est l’ensemble des points à égale distance de ses côtés.

Conséquence : les côtés du triangle sont tangents au cercle inscrit.
I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC.

Remarque: Pour obtenir le centre du cercle inscrit, il suffit de tracer deux bissectrices du triangle (il n’est pas nécessaire de tracer la 3ème bissectrice : les 2 premières détermineront le point d’intersection)

Cette propriété permet de tracer facilement le cercle inscrit à un triangle :

1^ère étape : on trace 2 bissectrices dans le triangle ABC. Leur point d’intersection est le point I.
2^ème étape : on trace la perpendiculaire à un des côtés du triangle passant par I. Elle coupe ce côté en H :
3^ème étape : on trace le cercle de centre I et de rayon IH, c’est-à-dire le cercle inscrit au triangle ABC.