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Développement d'une expression

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Objectif

Qu'est-ce que « développer une expression littérale » ?
Comment développer une expression littérale ?

Développer, c’est transformer une multiplication en une somme ou en une différence.

1. Distributivité de la multiplication

La multiplication est distributive sur l'addition. Cela signifie que, pour tous nombres k, a et b, on a :
k(a + b) = ka + kb.
De même, la multiplication est distributive sur la soustraction : k(a − b) = ka − kb.

Exemple : Développons les expressions suivantes :

3(x + 7) = 3x + 21 ;
9(2x − 7) = 18x − 63 ;
2x(3x + 1) = 6x² + 2x.

2. Double distributivité

La double distributivité de la multiplication sur l’addition signifie que, pour tous nombres a, b, c et d :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

De la même manière, on obtient les égalités suivantes :

(a + b)(c − d) = ac – ad + bc − bd ;
(a − b)(c + d) = ac + ad – bc − bd ;
(a − b)(c − d) = ac – ad – bc + bd.

Exemple : Développons les expressions suivantes :

(x + 3)(2x + 1) = 2x² + x + 6x + 3 ;
(5 + x)(3x − 2) = 15x – 10 + 3x² − 2x ;
(6 − 5x)(7 − 4x) = 42 − 24x − 35x + 20x².

3. Identités remarquables

Les identités remarquables sont des développements particuliers d’expressions.

On prendra a et b des nombres quelconques.

► Développement de (a + b)²

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b².

Exemple : (5x + 1)² = (5x)² + 2 × (5x) × 1 + 1² = 25x² + 10x + 1.

► Développement de (a − b)²

(a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − 2ab + b².

Exemple : (3x − 7)² = (3x)² − 2 × (3x) × 7 + 7² = 9x² − 42x + 49.

► Développement de (a − b)(a + b)

(a − b)(a + b) = a² − b².

Exemple : (4 − x)(4 + x) = 4² − x² = 16 − x².

Remarques :
• On retrouve chacune de ces expressions en utilisant la double distributivité.
• Ces expressions sont à connaitre « par cœur » sans utiliser la double distributivité.

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