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Triangle rectangle et cercle circonscrit

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Objectif

Le cercle circonscrit à un triangle rectangle est plus facile à tracer que pour un triangle quelconque. De même, on peut caractériser un triangle rectangle grâce à son cercle circonscrit.
Comment tracer rapidement le cercle circonscrit dans un triangle rectangle ? Comment caractériser un triangle rectangle d’après son cercle circonscrit ?

1. Cercle circonscrit à un triangle rectangle

a. Rappel

• Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses 3 sommets. Le centre du cercle circonscrit correspond à l’intersection des médiatrices de ses côtés.

O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC (le cercle passe par les 3 sommets du triangle)

• Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé de l’angle droit. C’est aussi le côté le plus long dans le triangle rectangle.

b. Théorème

Théorème: Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est le diamètre de son cercle circonscrit.

Exemple :

Le cercle circonscrit au triangle ABC rectangle en A a pour centre le milieu de [BC].

c. Théorème réciproque

Théorème: Si un point A est sur un cercle de diamètre [BC] alors le triangle ABC est rectangle en A.

Exemple :

Les point A, A’ et A’’ appartiennent au cercle de diamètre [BC] donc les triangles ABC ; A’BC et A’’BC sont rectangles respectivement en A ; A’ et A’’.

2. Médianes dans un triangle rectangle

a. Théorème

Théorème: Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de l’hypoténuse.

Exemple : Dans le triangle ABC rectangle en A, O est le milieu de l’hypoténuse et BC = 10 cm. Donner la longueur AO.

(AO) est la médiane issue de A car elle passe par un sommet et le milieu du côté opposé. O est donc le centre du cercle circonscrit à ABC et OA = OB = OC = BC : 2 = 10 : 2 = 5 cm

b. Théorème réciproque

Théorème: Si la longueur du côté le plus long d’un triangle est le double de la longueur de la médiane associée, alors le triangle est rectangle.

Exemple : AIC est un triangle isocèle en I et B est le symétrique de C par rapport à I. Montrer que ABC est rectangle en A.

Dans le triangle ABC, I est le milieu du côté le plus long [BC] donc [AI] est une médiane de ce triangle.

De plus, d’après le schéma : BC = 2 x AI
donc ABC est un triangle rectangle en A.

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