Triangle rectangle et cercle circonscrit
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Objectif
Le cercle circonscrit à un triangle rectangle est plus
facile à tracer que pour un triangle quelconque. De
même, on peut caractériser un triangle rectangle
grâce à son cercle circonscrit.
Comment tracer rapidement le cercle circonscrit dans un triangle rectangle ? Comment caractériser un triangle rectangle d’après son cercle circonscrit ?
Comment tracer rapidement le cercle circonscrit dans un triangle rectangle ? Comment caractériser un triangle rectangle d’après son cercle circonscrit ?
1. Cercle circonscrit à un triangle rectangle
a. Rappel
• Le cercle circonscrit à un triangle est le
cercle qui passe par ses 3 sommets. Le centre du cercle
circonscrit correspond à l’intersection des
médiatrices de ses côtés.
O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC (le cercle passe par les 3 sommets du triangle)
• Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé de l’angle droit. C’est aussi le côté le plus long dans le triangle rectangle.
O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC (le cercle passe par les 3 sommets du triangle)
• Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé de l’angle droit. C’est aussi le côté le plus long dans le triangle rectangle.
b. Théorème
Théorème: Si un triangle est
rectangle, alors son hypoténuse est le
diamètre de son cercle circonscrit.
Exemple :
Le cercle circonscrit au triangle ABC rectangle en A a pour centre le milieu de [BC].
c. Théorème réciproque
Théorème: Si un point A est sur un
cercle de diamètre [BC] alors le triangle ABC
est rectangle en A.
Exemple :
Les point A, A’ et A’’ appartiennent au cercle de diamètre [BC] donc les triangles ABC ; A’BC et A’’BC sont rectangles respectivement en A ; A’ et A’’.
2. Médianes dans un triangle rectangle
a. Théorème
Théorème: Si un triangle est
rectangle, alors la longueur de la médiane
relative à l’hypoténuse a pour
longueur la moitié de celle de
l’hypoténuse.
Exemple : Dans le triangle ABC rectangle en A, O est le milieu de l’hypoténuse et BC = 10 cm. Donner la longueur AO.
(AO) est la médiane issue de A car elle passe par un sommet et le milieu du côté opposé. O est donc le centre du cercle circonscrit à ABC et OA = OB = OC = BC : 2 = 10 : 2 = 5 cm
b. Théorème réciproque
Théorème: Si la longueur du
côté le plus long d’un triangle est
le double de la longueur de la médiane
associée, alors le triangle est rectangle.
Exemple : AIC est un triangle isocèle en I et B est le symétrique de C par rapport à I. Montrer que ABC est rectangle en A.
Dans le triangle ABC, I est le milieu du côté le plus long [BC] donc [AI] est une médiane de ce triangle.
De plus, d’après le schéma : BC = 2 x AI
donc ABC est un triangle rectangle en A.
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