Réciproque du théorème de Pythagore
Objectif
La réciproque du théorème de Pythagore
nous permettra de démontrer si un triangle est
rectangle.
Comment démontrer qu’un triangle est rectangle connaissant les longueurs de ses trois côtés ?
Comment démontrer qu’un triangle est rectangle connaissant les longueurs de ses trois côtés ?
1. Vocabulaire du triangle rectangle
Dans un triangle rectangle,
l’hypoténuse est le
côté opposé de l’angle
droit.
C’est aussi le côté le plus long dans le triangle rectangle.
C’est aussi le côté le plus long dans le triangle rectangle.
2. Réciproque du théorème de
Pythagore
Théorème réciproque de Pythagore
: Si les côtés d’un triangle ABC
vérifient l'égalité 
alors le
triangle ABC est rectangle en A.
Exemple : Dans un triangle ABC, on donne AB = 3 cm ; AC = 4 cm ; BC = 5cm.
Le triangle ABC est-il rectangle ?
Attention : on séparera les calculs pour déterminer s’il y a égalité ou non. On calculera donc le carré du plus grand côté (ici c'est le côté BC), puis la somme des deux autres carrés avant de vérifier si ces deux valeurs sont égales.
D’une part :
D’autre part :
Donc
Citation : D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
Conclusion : Comme BC est l'hypoténuse (BC est donc le côté opposé à l'angle), le triangle ABC est rectangle en A.
alors le
triangle ABC est rectangle en A.Exemple : Dans un triangle ABC, on donne AB = 3 cm ; AC = 4 cm ; BC = 5cm.
Le triangle ABC est-il rectangle ?
Attention : on séparera les calculs pour déterminer s’il y a égalité ou non. On calculera donc le carré du plus grand côté (ici c'est le côté BC), puis la somme des deux autres carrés avant de vérifier si ces deux valeurs sont égales.
D’une part :
D’autre part :
Donc
Citation : D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
Conclusion : Comme BC est l'hypoténuse (BC est donc le côté opposé à l'angle), le triangle ABC est rectangle en A.
3. Conséquence du théorème de
Pythagore
Pour montrer qu’un triangle n’est pas
rectangle, les étapes de démonstration
sont identiques à la réciproque, mais la
propriété utilisée pour conclure
n’est pas la réciproque du
théorème de Pythagore mais une
conséquence du théorème direct
:
Exemple : Dans un triangle DEF, on donne DE = 7 cm ; EF = 6 cm ; DF = 9 cm. DEF est-il rectangle ?
D’une part :
(on calcule le carré du plus grand
côté)
D’autre part :
Donc
Citation : D’après la conséquence du théorème de Pythagore, le triangle n’est pas rectangle
Conclusion : Le triangle DEF n’est pas un triangle rectangle.
Exemple : Dans un triangle DEF, on donne DE = 7 cm ; EF = 6 cm ; DF = 9 cm. DEF est-il rectangle ?
D’une part :
(on calcule le carré du plus grand
côté)D’autre part :
Donc
Citation : D’après la conséquence du théorème de Pythagore, le triangle n’est pas rectangle
Conclusion : Le triangle DEF n’est pas un triangle rectangle.
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