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Réciproque du théorème de Pythagore

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Objectif

La réciproque du théorème de Pythagore nous permettra de démontrer si un triangle est rectangle.

Comment démontrer qu’un triangle est rectangle connaissant les longueurs de ses trois côtés ?

1. Vocabulaire du triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé de l’angle droit.
C’est aussi le côté le plus long dans le triangle rectangle.

2. Réciproque du théorème de Pythagore

Théorème réciproque de Pythagore : Si les côtés d’un triangle ABC vérifient l'égalité

alors le triangle ABC est rectangle en A.

Exemple : Dans un triangle ABC, on donne AB = 3 cm ; AC = 4 cm ; BC = 5cm.
Le triangle ABC est-il rectangle ?

Attention : on séparera les calculs pour déterminer s’il y a égalité ou non. On calculera donc le carré du plus grand côté (ici c'est le côté BC), puis la somme des deux autres carrés avant de vérifier si ces deux valeurs sont égales.

D’une part :

D’autre part :

Donc

Citation : D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.

Conclusion : Comme BC est l'hypoténuse (BC est donc le côté opposé à l'angle), le triangle ABC est rectangle en A.

3. Conséquence du théorème de Pythagore

Pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle, les étapes de démonstration sont identiques à la réciproque, mais la propriété utilisée pour conclure n’est pas la réciproque du théorème de Pythagore mais une conséquence du théorème direct :

Exemple : Dans un triangle DEF, on donne DE = 7 cm ; EF = 6 cm ; DF = 9 cm. DEF est-il rectangle ?

D’une part :

(on calcule le carré du plus grand côté)
D’autre part :

Donc

Citation : D’après la conséquence du théorème de Pythagore, le triangle n’est pas rectangle

Conclusion : Le triangle DEF n’est pas un triangle rectangle.