Sections planes : pavé et cylindre - Cours de Mathématiques 3eme avec Maxicours - Collège

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Sections planes : pavé et cylindre

Objectifs
Lorsqu’un plan coupe un solide, il laisse une trace sur celui-ci. Cette trace est appelée section plane de ce solide.
Quelles sont les positions relatives des plans et des droites dans l’espace ? Quelles sont les différentes sections planes de parallélépipède rectangle et de cylindre ?
1. Positions relatives de plans et de droites dans l'espace
Exemple
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. Le plan P contient la face du dessus, le plan P’ la face du dessous et le plan P’’ la face de devant.
Position relative de deux plans
• Deux plans sont parallèles s’ils ne possèdent pas de point d’intersection.
Les plans P et P’ sont parallèles.
• Deux plans sont confondus si tous les points de l’un sont dans l’autre.
• Deux plans sont sécants s’ils possèdent une intersection. Dans ce cas, leur intersection est une droite.
Les plans P et P’’ sont sécants. Leur intersection est la droite (AD).

Position relative d’un plan et d’une droite
• Un plan et une droite sont parallèles s’ils ne possèdent pas de point d’intersection.
Le plan P’ et la droite (AC) sont parallèles.
• Un plan et une droite sont confondus si tous les points de la droite sont dans le plan.
Le plan ABC et la droite (AC) sont confondus.
• Un plan et une droite sont sécants s’ils possèdent une intersection. Dans ce cas, leur intersection est un point.
La droite (d) et le plan P sont sécants et leur intersection est le point I.
2. Section plane d'un solide
La section plane d’un solide est la surface obtenue lors d’une coupe de ce solide par un plan.
a. Parallélépipède rectangle
La section plane d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle ayant les mêmes dimensions que cette face.

Exemple

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. P est un plan parallèle à la face EFGH et aussi à la face ABCD.
La section plane RSTU est donc un rectangle de mêmes dimensions que EFGH.

Remarque : La section plane d’un cube par un plan parallèle à une face est un carré.

 

La section plane d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête est un rectangle.


Exemple

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. P est un plan parallèle à l’arête [GH].
La section plane RSTU est donc un rectangle.

 
b. Cylindre de révolution
La section plane d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un disque ayant le même rayon que la base.





Exemple
Soit le cylindre de révolution d’axe (OA) représenté sur la figure ci-contre. P est un plan perpendiculaire à cet axe.
La section plane ainsi définie est donc un disque de même rayon R que le disque de base.


 

La section plane d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle.




Exemple
Soit le cylindre de révolution d’axe (OA) représenté sur la figure ci-contre. P est un plan parallèle à cet axe.
La section plane ainsi définie est donc un rectangle.


 

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