Angles inscrits et angles au centre
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Objectifs
Les mesures des angles inscrits et des angles au centre qui
interceptent un même arc de cercle sont liés entre
eux par des relations permettant de calculer les uns
connaissant les autres.
Qu’est-ce qu’un angle inscrit et au centre ? Quelles sont les relations entre les angles inscrits et au centre interceptant un même arc de cercle ?
Qu’est-ce qu’un angle inscrit et au centre ? Quelles sont les relations entre les angles inscrits et au centre interceptant un même arc de cercle ?
1. Définitions
a. Angle inscrit
Soit 3 points distincts D, E et F
appartenant à un cercle (C).
On dit que l’angle
est un angle inscrit dans le cercle
(C).
L’arc de cercle compris entre les deux côtés de l’angle s’appelle l’arc de cercle intercepté.
On dit que l’angle
est un angle inscrit dans le cercle
(C).L’arc de cercle compris entre les deux côtés de l’angle s’appelle l’arc de cercle intercepté.
L’angle  est un angle inscrit dans le cercle.L’arc de cercle rouge est l’arc de cercle intercepté. On dit aussi que l’angle inscrit  intercepte l’arc de cercle
DF.
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b. Angle au centre
Soit un cercle (C) de centre O et
A, B deux points distincts du cercle.
On dit que l’angle est un angle au centre.
On dit que l’angle est un angle au centre.
L’angle  est un angle au centre. Il
intercepte l’arc de cercle rouge.
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2. Propriétés des angles inscrits et des
angles au centre
a. Relation entre angle inscrit et angle au centre
Dans un cercle, si un angle au centre et un angle
inscrit interceptent le même arc de cercle, alors
la mesure de l’angle au centre est le double de
celle de l’angle inscrit.
Le cercle ci-contre a pour centre O.
L’angle  est un angle au centre et l’angle
 est un angle inscrit au cercle.De plus, ces deux angles interceptent le même arc de cercle rouge. Donc  ou  .Exemple Avec les notations précédentes, si  alors  .
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b. Relation entre angles inscrits
Si deux angles inscrits d’un même cercle
interceptent le même arc de cercle, alors ils ont
la même mesure.
Les angles  et  sont deux angles inscrits du même
cercle de centre O. De plus, ils
interceptent le même arc de cercle
rouge.Donc ils sont égaux :  .Explication Les angles et interceptent le même arc de cercle
rouge que l’angle au centre  .Donc 
et  .Exemple Avec les notations précédentes si  ,
alors  .
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c. Cas particulier : Cercle circonscrit à un
triangle rectangle
Soit A et B deux points distincts.
Si un point M, distinct de A et B, appartient au cercle de diamètre [AB], alors l’angle est un angle droit.
Si un point M, distinct de A et B, appartient au cercle de diamètre [AB], alors l’angle est un angle droit.
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Illustration On utilise les angles inscrits et au centre. L’angle 
est un angle au centre interceptant l’arc
de cercle rouge.De plus, c’est un angle plat donc il mesure 180°. L’angle  est un angle inscrit interceptant
l’arc de cercle rouge.Les angles
et interceptent le même arc de cercle,
donc  .On a ainsi montré le lien entre un triangle rectangle et son cercle circonscrit. |
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