Polygones réguliers - Maxicours

Polygones réguliers

Objectifs
Parmi tous les polygones, les polygones réguliers possèdent des propriétés de symétrie qui permettent de les décrire et de les construire plus facilement.
Qu’est qu’un polygone régulier ? Quelles propriétés particulières caractérisent les polygones réguliers ?
1. Polygones réguliers
Un polygone est une figure géométrique du plan, constituée de segments reliés entre eux formant un contour fermé.
Chaque segment est un côté du polygone. Les intersections de segments sont les sommets du polygone.

Exemples
Un triangle est un polygone à 3 côtés. Un quadrilatère est un polygone à 4 côtés. Un pentagone est un polygone à 5 côtés…
Un polygone est dit régulier lorsque tous les côtés ont la même longueur et tous les angles ont la même mesure.
Exemple
Tous les côtés du carré ABCD ont la même longueur.
De plus, tous les angles sont des angles droits.
Donc le carré ABCD est un polygone régulier à 4 côtés.
2. Propriétés des polygones réguliers
Un polygone régulier à n côtés est inscriptible dans un cercle c'est-à-dire que tous les sommets sont sur le cercle.
Le centre du cercle est appelé centre du polygone régulier. 
Exemple
Les diagonales [AC] et [BD] ont la même longueur et se coupent en leur milieu O.
Les points A, B, C et D sont donc équidistants de O.
Ces 4 points sont sur le cercle de centre O passant par A.
Ainsi, O est le centre du carré.
Soit A et B, deux sommets consécutifs d’un polygone régulier à n côtés et de centre O.
L’angle mesure .
Exemple
Soit A et B deux sommets consécutifs d’un pentagone régulier de centre O. On a :
.

Conséquences sur le tracé d’un polygone régulier

On souhaite construire un polygone régulier connaissant uniquement le centre du polygone O et un sommet A.
D’après les propriétés précédentes, on peut opérer par étapes :
• On commence par tracer le cercle de centre O passant par A.
• On cherche la mesure de l’angle au centre du polygone : .
• On place le point B qui est à l’intersection du cercle et de l’angle précédent.
• On continue l’algorithme pour tous les autres points.

Remarque : Dans le cas d’un polygone régulier dont le nombre de côtés est pair, on peut aussi utiliser des symétries.
Exemple
Soit O le centre d’un hexagone régulier et A un sommet associé tel que OA = 4 cm.
Construire l’hexagone.

On commence par tracer le segment [OA] de 4 cm.
On trace le cercle de centre O passant par A.
On détermine l’angle au centre :
.
On construit un angle de 60°.
On place le point B et on poursuit la construction.

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