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Aire d'une surface

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Objectifs

Dans beaucoup de problèmes de la vie courante, il est intéressant de savoir calculer l’aire d’une surface plane (Sol, mur d’une maison…) ou d’une surface latérale sur un solide (Surface occupée par une étiquette sur une boite de conserve).
Comment calculer l’aire des surfaces planes usuelles ? Comment calculer l’aire latérale de certains solides ?

1. Aires de figures planes

a. Rectangle

L’aire d’un rectangle de longueur L et de largeur l est A = L × l.

Exemple

EFGH est un rectangle tel que EF = 7 cm et EH = 4 cm.
Son aire est alors donnée par A = EF × EH = 7 × 4 = 28.
L’aire de EFGH est donc 28 cm².

Cas particulier du carré
L’aire d’un carré de côté c est A = c².

Exemple

ABCD est un carré de côté 5 cm.
Son aire est donnée par A = AB² = 5² = 25.
L’aire de ABCD est donc 25 cm².

b. Triangle

L’aire d’un triangle de base b et de « hauteur relative » h est :

Exemple

RST est un triangle tel que RS = 8 cm et OT = 2,5 cm. Si on choisit RS comme base du triangle, alors OT est la « hauteur relative ».
On a alors :

.
L’aire de RST est donc 10 cm².

LMN est un triangle tel que MN = 6 cm et LU = 3 cm. Si on choisit MN comme base du triangle, alors LU est la « hauteur relative ».
On a alors :

.
L’aire de LMN est donc 9 cm².

c. Disque

L’aire d’un disque de rayon R est A = π × R².

Exemple

Le disque de centre O et de rayon OZ = R = 5 cm a pour aire exacte :
A = π × OZ² = π × 5² = 25π, soit 25π cm².
Une valeur approchée de l’aire de ce disque est 78,5 cm² avec π ≈ 3,14.

2. Aires latérales de solides

a. Prisme droit

L’aire latérale d’un prisme est égale à la somme des aires de chacune des faces latérales rectangles de même longueur.

Aire latérale d'un prisme = périmètre de la base × hauteur du prisme.

Exemple
Sur l’exemple précédent, considérons que « l’étoile » a des côtés égaux à 3 cm et que la hauteur est de 7 cm.
Calculer l’aire latérale de ce prisme.
Périmètre de la base = 10 × 3 = 30 cm.
Aire latérale = 30 × 7 = 210 cm³.

b. Cylindre de révolution

L’aire latérale d’un cylindre de révolution correspond à l’aire du cylindre sans tenir compte de l’aire des bases.

Aire latérale d’un cylindre de révolution = Périmètre d’une base × Hauteur du cylindre.

Exemple
Calculer l’aire latérale cylindre de hauteur 25 cm et de rayon 4 cm.
A = 2 × π × 4 × 25.
A = 200π cm². (Valeur exacte)
A ≈ 628 cm². (Valeur approchée à l’unité avec π ≈ 3,14)

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