Proportionnalité dans un triangle
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Objectifs
Le théorème de la droite des milieux a
l’inconvénient de ne calculer la distance
qu’entre les milieux de deux côtés d’un
triangle. On va généraliser ce résultat avec
la propriété dite de « Thalès »
Comment calculer des longueurs dans une « configuration de Thalès » où les droites sont parallèles ? Qu’est ce qu’un agrandissement et une réduction ?
Comment calculer des longueurs dans une « configuration de Thalès » où les droites sont parallèles ? Qu’est ce qu’un agrandissement et une réduction ?
1. Triangles déterminés par deux droites
parallèles coupant deux sécantes
a. Remarque préalable
Dans le triangle ABC, la droite (d)
parallèle à (BC) coupe [AB] en M et [AC]
en N. La droite (d) délimite alors un nouveau
triangle AMN qui est une réduction de
ABC.
b. Propriété
Si une droite est parallèle à un
côté d'un triangle, alors les deux triangles
formés ont des côtés proportionnels.
| Longueurs du triangle ABC | AB | AC | BC |
| Longueurs du triangle AMN | AM | AN | MN |
Le coefficient de proportionnalité pour passer de la première ligne à la deuxième est donné par :
La propriété précédente est donc équivalente à la propriété suivante connue sous le nom de «propriété de Thalès» :
Dans un triangle ABC, si M est un point du
côté [AB] et N est un point du côté
[AC] et si (MN) est parallèle à (BC) alors
: 
Remarque : Si M et N sont les milieux de [AB] et [AC]
on retrouve le théorème de la droite des
milieux concernant les longueurs.
c. Exemple
Calculer la longueur AN d’après les
données suivantes :
Sur la figure ci-dessus: AB = 8 cm
; AC = 4 cm ; le point M est
placé sur [AB] tel que
AM = 2 cm.
On sait que
et 
; de plus, (MN) // (BC)
Citation : Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB] et N est un point du côté [AC] et si (MN) est parallèle à (BC) alors:
Conclusion :
. La partie intéressante pour calculer AN est
: 
.
Pour calculer AN, on effectue un produit en croix :
soit 
Donc le segment [AN] mesure 1 cm.
On sait que
et ; de plus, (MN) // (BC)Citation : Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB] et N est un point du côté [AC] et si (MN) est parallèle à (BC) alors:
Conclusion :
. La partie intéressante pour calculer AN est
: .Pour calculer AN, on effectue un produit en croix :
soit Donc le segment [AN] mesure 1 cm.
2. Agrandissement et réduction
Soit F et F’ deux figures telles que
:
- Leurs angles sont égaux
- Les longueurs de F et F’
sont proportionnelles. On passe des longueurs de
F à celles de F’ en multipliant
par un coefficient de proportionnalité k.
- Si k > 1, alors F’ est un agrandissement de F
- Si k < 1, alors F’ est une réduction de F .
Exemple : Les 2 triangles suivants ont des longueurs
proportionnelles et des angles égaux.
On a le tableau de proportionnalité suivant :
On passe des longueurs de la figure F aux longueurs de la figure F’ en multipliant par 4 (coefficient de proportionnalité supérieur à 1) donc F’ est un agrandissement de F .
On passe des longueurs de la figure F’ aux longueurs de la figure F en multipliant par
(coefficient de proportionnalité inférieur
à 1) donc F est une réduction de
F’.
On a le tableau de proportionnalité suivant :
| Longueurs sur F | AB = 2 cm | AC = 1,5 cm | BC = 1,8 cm |
| Longueurs sur F' | A'B' = 8 cm | A'C' = 6 cm | B'C' = 7,2 cm |
On passe des longueurs de la figure F aux longueurs de la figure F’ en multipliant par 4 (coefficient de proportionnalité supérieur à 1) donc F’ est un agrandissement de F .
On passe des longueurs de la figure F’ aux longueurs de la figure F en multipliant par
(coefficient de proportionnalité inférieur
à 1) donc F est une réduction de
F’.
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