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Proportionnalité dans un triangle

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Objectifs
Le théorème de la droite des milieux a l’inconvénient de ne calculer la distance qu’entre les milieux de deux côtés d’un triangle. On va généraliser ce résultat avec la propriété dite de « Thalès »
Comment calculer des longueurs dans une « configuration de Thalès » où les droites sont parallèles ? Qu’est ce qu’un agrandissement et une réduction ?
1. Triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes
a. Remarque préalable
Dans le triangle ABC, la droite (d) parallèle à (BC) coupe [AB] en M et [AC] en N. La droite (d) délimite alors un nouveau triangle AMN qui est une réduction de ABC.

b. Propriété
Si une droite est parallèle à un côté d'un triangle, alors les deux triangles formés ont des côtés proportionnels.

Longueurs du triangle ABC AB AC BC
Longueurs du triangle AMN AM AN MN

Le coefficient de proportionnalité pour passer de la première ligne à la deuxième est donné par :

La propriété précédente est donc équivalente à la propriété suivante connue sous le nom de «propriété de Thalès» :
Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB] et N est un point du côté [AC] et si (MN) est parallèle à (BC) alors : 
Remarque : Si M et N sont les milieux de [AB] et [AC] on retrouve le théorème de la droite des milieux concernant les longueurs.

c. Exemple
Calculer la longueur AN d’après les données suivantes :
Sur la figure ci-dessus: AB = 8 cm ; AC = 4 cm ; le point M est placé sur [AB] tel que AM = 2 cm.
On sait que et ; de plus, (MN) // (BC)

Citation : Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB] et N est un point du côté [AC] et si (MN) est parallèle à (BC) alors:

Conclusion : . La partie intéressante pour calculer AN est : .

Pour calculer AN, on effectue un produit en croix :
  soit 

Donc le segment [AN] mesure 1 cm.
2. Agrandissement et réduction
Soit F et F’ deux figures telles que :
  • Leurs angles sont égaux
  • Les longueurs de F et F’ sont proportionnelles. On passe des longueurs de F à celles de F’ en multipliant par un coefficient de proportionnalité k.
    • Si k > 1, alors F’ est un agrandissement de F 
    • Si k < 1, alors F’ est une réduction de F .
Exemple : Les 2 triangles suivants ont des longueurs proportionnelles et des angles égaux.

On a le tableau de proportionnalité suivant :
 
Longueurs sur F AB = 2 cm AC = 1,5 cm BC = 1,8 cm
Longueurs sur F' A'B' = 8 cm A'C' = 6 cm B'C' = 7,2 cm

On passe des longueurs de la figure F aux longueurs de la figure F’ en multipliant par 4 (coefficient de proportionnalité supérieur à 1) donc F’ est un agrandissement de F .

On passe des longueurs de la figure F’ aux longueurs de la figure F en multipliant par (coefficient de proportionnalité inférieur à 1) donc F est une réduction de F’.

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