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Probabilités

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Objectifs :

Les jeux de hasard peuvent nous apporter, parait-il, la fortune. Mais derrière ces jeux dont on ne peut pas prévoir le résultat par avance se cache le calcul des probabilités. Cette branche des mathématiques permet de déterminer quelles sont nos chances réelles de gagner ou de perdre . Quel est le vocabulaire spécifique aux expériences aléatoires ? Comment calculer les probabilités des résultats d’une expérience aléatoire ? Tels sont les thèmes que nous allons aborder dans cette fiche.

1. Vocabulaire et représentation d'une expérience aléatoire

a. Vocabulaire

• On dit qu’une expérience est aléatoire si ses issues possibles ne sont dues qu’au hasard.

Exemples
- Lorsqu’on lance une pièce de monnaie bien équilibrée, on ne peut pas savoir par avance la face qui va apparaître.
- Lorsque l’on lance un dé à 6 faces bien équilibré, on ne peut pas prédire le numéro qui va apparaitre.

• Dans une expérience aléatoire, on appelle univers l’ensemble de toutes les issues possibles. On le note souvent

Exemple : Lorsque l’on lance une pièce de monnaie, l’univers est constitué des deux issues Pile et Face et on note :

= {Pile ;Face}.

• Un évènement est constitué par une partie des issues possibles d’une expérience aléatoire.

Exemple : Lorsque l’on lance un dé à 6 faces on peut s’intéresser à l’évènement : « obtenir un nombre pair ». Cet évènement est réalisé si après le lancer du dé on obtient une des faces 2 ou 4 ou 6.

b. Représentation d'une expérience aléatoire

Pour représenter une expérience aléatoire, il peut être utile de construire l’arbre des possibles qui permet de décrire de façon exhaustive toutes les issues possibles de l’expérience aléatoire.

Exemple
Une urne contient une boule rouge, une boule noire et une boule verte. Un sac contient une boule blanche et une boule jaune.
L’expérience consiste à tirer au hasard une boule de l’urne puis à tirer à la suite une boule du sac. Indiquer à l’aide d’un arbre des possibles tous les issues réalisables dans cette expérience aléatoire.
Dans la suite on désignera par B la boule Blanche, par V la boule verte, par N la boule noire, par R la boule rouge et par J la boule jaune.

Toutes les issues de l’expérience sont donc déterminées en suivant les branches de l’arbre. Par exemple en passant par R puis par B, on obtient l’issue une boule Rouge puis une boule Blanche (notée ici « (R puis B) »).

2. Probabilité sur un ensemble fini

a. Notion de probabilité

A chaque issue d’une expérience aléatoire on va associer un nombre compris entre 0 et 1 nommé probabilité et noté p. De plus la somme des probabilités de toutes les issues de l’expérience aléatoire doit être égale à 1.

Exemple
On lance une pièce de monnaie non truquée. On a une chance sur deux d’obtenir le côté Face. On aura donc que la probabilité d’obtenir Face vaut

et on notera p(Face) = . De même on a une chance sur deux d’obtenir le côté pile et on aura p(Pile) =

. On peut constater que la somme : p(Pile) + p(Face) =1.

b. Cas particulier : l'équiprobabilité

On dit qu’il y a équiprobabilité si toutes les issues possibles d’une expérience aléatoires ont la même probabilité. Dans ce cas la probabilité de l’une des issues de l’expérience aléatoires est égale à

Exemple : Si on lance un dé à 6 faces non truqué on est dans une situation d’équiprobabilité. La probabilité d’obtenir la face 1 notée p({1}) vaut donc

de même p({2})= p({3})=p({4})=p({5})=p({6})=

c. Arbres pondérés

Afin de calculer des probabilités, il peut être utile de construire des arbres pondérés.

Exemple : Une expérience consiste à :
- tourner d’abord la roue 1 non truquée: on obtient alors la couleur Rouge ou la couleur Bleu.
- puis à tourner ensuite la roue 2 non truquée: on obtient alors la couleur Violet, la couleur Jaune ou la couleur Marron.

Calculer la probabilité de chacune des issues possibles de cette expérience. On peut construire l’arbre des possibles en le complétant avec les probabilités de chacune des branches.

Dans ce cas la probabilité d’une issue est égale au produit des probabilités rencontrées le long du chemin.
Par exemple, la probabilité d’obtenir (R puis V) est : p(R puis V)=

d. Propriétés

La probabilité d’un évènement est égale à la somme des probabilités des éléments qui le constituent.

Exemple
Dans le cas du lancer d’un dé à 6 faces on peut calculer la probabilité de l’évènement noté A qui consiste à « obtenir un nombre impair ».Cet évènement est réalisé si on obtient une des faces 1 ou 3 ou 5. On a donc :
p(A)= p({1}) + p({3}) + p({5}) =