Fiche de cours

Produit d'un vecteur par un réel, colinéarité de deux vecteurs

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Objectifs
  • Déterminer le produit d'un vecteur par un réel.
  • Connaitre la définition de la colinéarité de deux vecteurs.
  • Utiliser le déterminant de deux vecteurs pour prouver une colinéarité.
  • Démontrer l’alignement de trois points.
  • Démontrer le parallélisme de deux droites.
Points clés
  • désigne un vecteur et k est un réel. Le produit du vecteur par le réel k est le vecteur noté k.
  • On considère un vecteur  non nul et k un réel non nul. Deux cas sont possibles :
    • si k > 0, alors  et k ont la même direction, le même sens et ;
    • si k < 0, alors  et k ont la même direction, des sens opposés et .
      De manière générale, on peut écrire .
  •  et  sont colinéaires signifie que l'un est de produit de l'autre par un réel k, c'est-à-dire  ou .
    Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.
  • Dire que les vecteurs et sont colinéaires équivaut à dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
  • Dire que les vecteurs et sont colinéaires équivaut à dire que les points A, B et C sont alignés.
Pour bien comprendre

  • Caractéristiques d'un vecteur
  • Notation  (valeur absolue de k)
1. Produit d'un vecteur par un réel
a. Notation

désigne un vecteur et k est un réel.
Le produit du vecteur par le réel k est le vecteur noté k.

b. Propriété
 ou .
c. Caractéristiques du produit d'un vecteur
On considère un vecteur  non nul et k un réel non nul. Deux cas sont possibles :
  • si k > 0, alors  et k ont la même direction, le même sens et ;
  • si k < 0, alors  et k ont la même direction, des sens opposés et .

De manière générale, on peut écrire .

Exemple
est un vecteur donné.
Les points A, B, C, D, E et F sont tels que : ; ; .



On observe que, 3 et –2ont la même direction (celle du vecteur).
(AB), (CD) et (EF) sont parallèles.
et –2 sont de sens opposés car –2 < 0. Donc et sont de sens opposés.

donc CD = 3AB. 
donc EF = 2AB.

d. Propriétés du produit d'un vecteur par un réel

On admet les propriétés suivantes :

Quels que soient les vecteurs  et  et les réels k et k' :
  • équivaut à k = 0 ou ;
  • ;
  • ;
  • .
2. Vecteurs colinéaires
a. Définition
 et  sont colinéaires signifie que l'un est de produit de l'autre par un réel k, c'est-à-dire  ou .
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

Conséquences immédiates

  • Le vecteur nul  est colinéaire à tout vecteur , car quel que soit , ;
  • et  sont colinéaires signifie que l'un est le produit de l'autre par un nombre réel .
b. Applications
Vecteurs colinéaires et parallélisme
Dans le plan, on considère quatre points distincts A, B, C et D.



et sont colinéaires  et ont la même direction
les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Dire que les vecteurs et sont colinéaires équivaut à dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Exemple
ABC est un triangle. M et N sont tels que : et .
On en déduit que (MN) et (BC) sont parallèles.

En effet, .
On observe que s'écrit sous la forme k(k étant un réel). On déduit que et sont colinéaires, donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Vecteurs colinéaires et alignement
Dans le plan, on considère trois points distincts A, B et C.



et sont colinéaires et ont la même direction
 les droites (AB) et (AC) sont parallèles A, B et C sont alignés.
Dire que les vecteurs et sont colinéaires équivaut à dire que les points A, B et C sont alignés.
Exemple
Si M et N sont deux points donnés, comment placer le point R tel que ?
est le produit de par donc par définition, et sont colinéaires.
On en déduit que :
• M, N et R sont alignés ;
• donc et sont de sens opposés ;
• .
3. Relation liant les coordonnées de deux vecteurs colinéaires
Le plan étant muni d'une base orthonormée , on considère deux vecteurs  et .
Le déterminant des vecteurs  et  s'écrit xy' – x'y.
Les vecteurs  et  sont colinéaires si et seulement si xy' – x'y = 0.
Exemple 1
Dans une base orthonormée du plan, soient deux vecteurs  et  . Sont-ils colinéaires ?
On calcule le déterminant de et : 
xy' – x'y = 
On en déduit que les vecteurs et sont colinéaires.
Exemple 2
Soient, dans un repère orthonormé du plan, les points A(–2 ; 1) et B(1 ; 2). Déterminer une équation de la droite (AB) en utilisant la colinéarité des vecteurs et .

D'après le paragraphe 2b sur les vecteurs colinéaires et l'alignement, on peut commencer par écrire que :
M(x ; y) ∈ (AB)  A, M et B sont trois points alignés et sont colinéaires

Or, on a vu au paragraphe 3 que deux vecteurs étaient colinéaires si et seulement si leur déterminant était égal à 0.
Ici, le vecteur a pour coordonnées (1 + 2 ; 2 – 1) soit (3 ; 1).
Le vecteur  a pour coordonnées (x + 2 ; y – 1).
On calcule le déterminant de et :  xy' – x'y = 

M(x ; y) ∈ (AB) 
et sont colinéaires si et seulement si .

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