Produit d'un vecteur par un réel, colinéarité de deux vecteurs
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- Déterminer le produit d'un vecteur par un réel.
- Connaitre la définition de la colinéarité de deux vecteurs.
- Utiliser le déterminant de deux vecteurs pour prouver une colinéarité.
- Démontrer l’alignement de trois points.
- Démontrer le parallélisme de deux droites.
- désigne un vecteur et k est un réel. Le produit du vecteur par le réel k est le vecteur noté k.
- On considère un vecteur non nul et k un réel non nul.
Deux cas sont possibles :
- si k > 0, alors et k ont la même direction, le même sens et ;
- si k
< 0, alors et k ont la même direction, des sens
opposés et .
De manière générale, on peut écrire .
-
et sont colinéaires signifie
que l'un est de produit de l'autre par un réel
k,
c'est-à-dire ou .
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. - Dire que les vecteurs et sont colinéaires équivaut à dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
- Dire que les vecteurs et sont colinéaires équivaut à dire que les points A, B et C sont alignés.
- Caractéristiques d'un vecteur
- Notation (valeur absolue de k)
désigne un vecteur et
k est un
réel.
Le produit du vecteur par le réel
k est le
vecteur noté k.
- si k > 0, alors et k ont la même direction, le même sens et ;
- si k < 0, alors et k ont la même direction, des sens opposés et .
De manière générale, on peut écrire .
est un vecteur donné.
Les points A, B, C, D, E et F sont tels que : ; ; .
On observe que, 3 et
–2ont la même
direction (celle du vecteur).
(AB),
(CD) et
(EF) sont
parallèles.
et –2 sont de sens
opposés car –2 < 0.
Donc et sont de sens
opposés.
donc CD = 3AB.
donc EF =
2AB.
On admet les propriétés suivantes :
- équivaut à k = 0 ou ;
- ;
- ;
- .
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.
Conséquences immédiates
- Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur , car quel que soit , ;
- et sont colinéaires signifie que l'un est le produit de l'autre par un nombre réel .
Dans le plan, on considère quatre points distincts A, B, C et D.
et sont colinéaires et ont la même direction
les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Dire que les vecteurs et sont colinéaires équivaut à dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
ABC est un triangle. M et N sont tels que : et .
On en déduit que (MN) et (BC) sont parallèles.
En effet, .
On observe que s'écrit sous la forme k(k étant un réel). On déduit que et sont colinéaires, donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Dans le plan, on considère trois points distincts A, B et C.
et sont colinéaires et ont la même direction
les droites (AB) et (AC) sont parallèles A, B et C sont alignés.
Dire que les vecteurs et sont colinéaires équivaut à dire que les points A, B et C sont alignés.
Si M et N sont deux points donnés, comment placer le point R tel que ?
est le produit de par donc par définition, et sont colinéaires.
On en déduit que :
• M, N et R sont alignés ;
• donc et sont de sens opposés ;
• .
Le déterminant des vecteurs et s'écrit xy' – x'y.
Les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si xy' – x'y = 0.
Dans une base orthonormée du plan, soient deux vecteurs et . Sont-ils colinéaires ?
On calcule le déterminant de et :
xy' – x'y =
On en déduit que les vecteurs et sont colinéaires.
Soient, dans un repère orthonormé du plan, les points A(–2 ; 1) et B(1 ; 2). Déterminer une équation de la droite (AB) en utilisant la colinéarité des vecteurs et .
D'après le paragraphe 2b sur les vecteurs colinéaires et l'alignement, on peut commencer par écrire que :
M(x ; y) ∈ (AB) A, M et B sont trois points alignés et sont colinéaires
Or, on a vu au paragraphe 3 que deux vecteurs étaient colinéaires si et seulement si leur déterminant était égal à 0.
Ici, le vecteur a pour coordonnées (1 + 2 ; 2 – 1) soit (3 ; 1).
Le vecteur a pour coordonnées (x + 2 ; y – 1).
On calcule le déterminant de et : xy' – x'y =
M(x ; y) ∈
(AB)
et
sont
colinéaires si et seulement si .
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