Produit d'un vecteur par un réel, colinéarité de deux vecteurs
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- Déterminer le produit d'un vecteur par un réel.
- Connaitre la définition de la colinéarité de deux vecteurs.
- Utiliser le déterminant de deux vecteurs pour prouver une colinéarité.
- Démontrer l’alignement de trois points.
- Démontrer le parallélisme de deux droites.
-
désigne un vecteur et k est un réel. Le
produit du vecteur 
par le réel k est le vecteur noté
k
.
- On considère un vecteur non nul et k un réel non nul.
Deux cas sont possibles :
- si k
> 0, alors et k ont la même direction, le même sens
et
;
- si k
< 0, alors et k ont la même direction, des sens
opposés et
.
De manière générale, on peut écrire
.
- si k
> 0, alors
-
et
sont colinéaires signifie
que l'un est de produit de l'autre par un réel
k,
c'est-à-dire 
ou 
.
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. - Dire que les vecteurs
et 
sont
colinéaires équivaut à dire
que les droites (AB) et (CD) sont
parallèles.
- Dire que les vecteurs
et 
sont colinéaires
équivaut à dire que les
points A, B et C sont
alignés.
- Caractéristiques d'un vecteur
- Notation
(valeur absolue de k)
désigne un vecteur et
k est un
réel.
Le produit du vecteur par le réel
k est le
vecteur noté k.
ou 
.
non nul et k un réel non
nul. Deux cas sont possibles :
- si k
> 0, alors et k ont la même direction, le même
sens et ;
- si k
< 0, alors et k ont la même direction, des sens
opposés et .
De manière générale, on peut
écrire .
est un vecteur
donné.Les points A, B, C, D, E et F sont tels que :
; 
; 
.
On observe que, 3 et
–2ont la même
direction (celle du vecteur).
(AB),
(CD) et
(EF) sont
parallèles.
et –2 sont de sens
opposés car –2 < 0.
Donc 
et 
sont de sens
opposés.
donc CD = 3AB.
donc EF =
2AB.
On admet les propriétés suivantes :
et et les réels
k et k' :
-
équivaut à k = 0
ou 
;
-
;
-
;
-
.
et sont
colinéaires signifie que l'un est de
produit de l'autre par un réel k,
c'est-à-dire ou .Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.
Conséquences immédiates
- Le vecteur nul
est
colinéaire à tout
vecteur , car quel que
soit , 
;
-
et 
sont colinéaires signifie que
l'un est le produit de l'autre par un nombre
réel 
.
Dans le plan, on considère quatre points distincts A, B, C et D.
et sont
colinéaires 
et ont la
même direction
les droites (AB)
et (CD) sont
parallèles.Dire que les vecteurs
et sont
colinéaires équivaut à dire
que les droites (AB) et
(CD)
sont parallèles.
ABC est un triangle. M et N sont tels que :
et 
.On en déduit que (MN) et (BC) sont parallèles.
En effet,
.On observe que
s'écrit
sous la forme k
(k
étant un réel). On déduit
que et
sont
colinéaires, donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Dans le plan, on considère trois points distincts A, B et C.
et sont
colinéaires 
et 
ont la même direction les droites (AB) et (AC) sont
parallèles A, B et C sont alignés.Dire que les vecteurs
et sont colinéaires
équivaut à dire que les
points A, B et C sont
alignés.
Si M et N sont deux points donnés, comment placer le point R tel que
?
est le produit de 
par 
donc par définition,
et 
sont colinéaires.On en déduit que :
• M, N et R sont alignés ;
•
donc 
et 
sont de sens opposés
;•
.
, on considère deux
vecteurs 
et 
.Le déterminant des vecteurs
et s'écrit
xy' –
x'y.Les vecteurs
et sont
colinéaires si et seulement
si xy'
– x'y = 0.
Dans une base orthonormée du plan, soient deux vecteurs
et 
. Sont-ils
colinéaires ?On calcule le déterminant de
et 
: xy' – x'y =
On en déduit que les vecteurs
et sont colinéaires.
Soient, dans un repère orthonormé du plan, les points A(–2 ; 1) et B(1 ; 2). Déterminer une équation de la droite (AB) en utilisant la colinéarité des vecteurs
et 
.D'après le paragraphe 2b sur les vecteurs colinéaires et l'alignement, on peut commencer par écrire que :
M(x ; y) ∈ (AB)
A,
M et B sont trois points
alignés et sont
colinéairesOr, on a vu au paragraphe 3 que deux vecteurs étaient colinéaires si et seulement si leur déterminant était égal à 0.
Ici, le vecteur
a
pour coordonnées (1 + 2 ; 2 – 1) soit (3 ;
1).Le vecteur
a
pour coordonnées (x + 2 ; y – 1).On calcule le déterminant de
et : xy'
– x'y = 
M(x ; y) ∈
(AB) 
et
sont
colinéaires si et seulement si 
.
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