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Projeté orthogonal et trigonométrie- Seconde- Mathématiques

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Objectifs

Construire le projeté orthogonal d'un point sur une droite.
Calculer des longueurs et des angles à l'aide des relations trigonométriques dans un triangle rectangle (cosinus, sinus, tangente).
Connaitre et appliquer la relation trigonométrique dans un triangle rectangle.

Points clés

Soient d une droite et M un point du plan.
Le projeté orthogonal de M sur la droite d est le point H appartenant à d tel que (MH) d.
On a la propriété suivante : H est le point de d le plus proche de M.
Dans un triangle rectangle, on a les relations trigonométriques suivantes :
- cosinus d’un angle aigu =
- sinus d’un angle aigu =
- tangente d’un angle aigu =
Pour calculer la mesure d'un angle connaissant son cosinus, son sinus ou sa tangente, on utilise les fonctions cos^–¹, sin^–¹ et tan^–¹ de la calculatrice.
Dans un triangle rectangle, on a les relations trigonométriques :
- ;
- .

Pour bien comprendre

Triangle rectangle
Théorème de Pythagore

1. Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Soient d une droite et M un point du plan.
Le projeté orthogonal de M sur la droite d est le point H appartenant à d tel que (MH)

Remarque
Si M

d, alors M et H sont confondus.

Propriété
H est le point de d le plus proche de M.

En effet :

Si M d, alors M et H sont confondus, donc MH = 0. Tout autre point H’ de d distinct de H est tel que MH’ > 0, donc MH’ > MH.
Si M d, alors pour tout point H’ d, distinct de H, le triangle MHH’ est rectangle en H. [MH’] en est l’hypoténuse, c’est-à-dire le plus long côté du triangle, donc MH’ > MH.

2. Trigonométrie

a. Cosinus d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle :
cosinus d’un angle aigu =

Exemple
Soit ABC un triangle rectangle en A.

Le côté adjacent à l’angle

est le côté [AB], et l’hypoténuse du triangle ABC est le côté [BC].
On a donc

Remarque
Comme les longueurs sont des nombres positifs et que l’hypoténuse est le plus grand des côtés du triangle rectangle, on a l’inégalité suivante :

Pour calculer la mesure d'un angle connaissant son cosinus, on utilise la fonction cos^–¹ de la calculatrice.

Exemple
Si cos(

) = 0,6, alors

= cos^–¹(0,6)

53°.

b. Sinus d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle :
sinus d’un angle aigu =

Exemple
Soit ABC un triangle rectangle en A.

Le côté opposé à l’angle

est le côté [AC], et l’hypoténuse du triangle ABC est le côté [BC].
On a donc

Remarques
• Comme les longueurs sont des nombres positifs et que l’hypoténuse est le plus grand des côtés du triangle rectangle, on a l’inégalité suivante :

.
• D’après le schéma précédent, nous avons

, donc

Pour calculer la mesure d'un angle connaissant son sinus, on utilise la fonction sin^–¹ de la calculatrice.

Exemple
Si sin(

) = 0,56 alors

= sin^–¹(0,56)

34°.

c. Tangente d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle :
tangente d’un angle aigu =

Exemple
Soit ABC un triangle rectangle en A.

Le côté opposé à l’angle

est le côté [AC] et le côté adjacent à l'angle

est le côté [AB].
On a donc

Remarques
• Les longueurs sont des nombres positifs ; on peut donc écrire pour les angles aigus :

.
• Un moyen pour retenir les définitions est l’anagramme : SOH CAH TOA, où par exemple SOH veut dire que le Sinus (S) d’un angle aigu égal au quotient de la longueur du côté Opposé (O) par la longueur de l’Hypoténuse (H).

Pour calculer la mesure d'un angle connaissant sa tangente, on utilise la fonction tan^–¹ de la calculatrice.

Exemple
Si tan(

) = 26, alors

= tan^–¹(26)

88°.

d. Propriétés

Dans un triangle rectangle, soit α l'un des deux angles aigus.
On a la relation :

Démonstration

On se place dans un triangle rectangle ABC rectangle en A.

Par définition,
(le quotient reste inchangé si on multiplie par BC en haut et en bas)

Dans un triangle rectangle, soit α l'un des deux angles aigus.
On a la relation :

Démonstration

On se place dans un triangle rectangle ABC rectangle en A.

Par définition, et .
D'où :

(d'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC)

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