Projeté orthogonal et trigonométrie
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- Construire le projeté orthogonal d'un point sur une droite.
- Calculer des longueurs et des angles à l'aide des relations trigonométriques dans un triangle rectangle (cosinus, sinus, tangente).
- Connaitre et appliquer la relation
trigonométrique
dans un triangle rectangle.
- Soient d une
droite et M un point du
plan.
Le projeté orthogonal de M sur la droite d est le point H appartenant à d tel que (MH)
d.
- On a la propriété suivante : H est le point de d le plus proche de M.
- Dans un triangle rectangle, on a les relations
trigonométriques suivantes :
-
cosinus d’un angle aigu =
-
sinus d’un angle aigu =
-
tangente d’un angle aigu =
-
cosinus d’un angle aigu =
- Pour calculer la mesure d'un angle connaissant son cosinus, son sinus ou sa tangente, on utilise les fonctions cos–1, sin–1 et tan–1 de la calculatrice.
- Dans un triangle rectangle, on a les relations
trigonométriques :
-
;
-
.
-
- Triangle rectangle
- Théorème de Pythagore
Le projeté orthogonal de M sur la droite d est le point H appartenant à d tel que (MH)
d.
Si M
d, alors M et H sont confondus.
H est le point de d le plus proche de M.
En effet :
- Si M
d, alors M et H sont confondus, donc
MH = 0. Tout autre point
H’ de
d distinct
de H est tel que
MH’
> 0, donc
MH’ > MH.
- Si M
d, alors pour tout point
H’ 
d, distinct de
H, le triangle
MHH’ est
rectangle en H.
[MH’] en est
l’hypoténuse, c’est-à-dire le
plus long côté du triangle, donc MH’ > MH.
cosinus d’un angle aigu =
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Le côté adjacent à l’angle
est le
côté [AB], et l’hypoténuse
du triangle ABC est
le côté [BC].On a donc
.
Comme les longueurs sont des nombres positifs et que l’hypoténuse est le plus grand des côtés du triangle rectangle, on a l’inégalité suivante :
.
Pour calculer la mesure d'un angle connaissant son cosinus, on utilise la fonction cos–1 de la calculatrice.
Si cos(
)
= 0,6,
alors 
=
cos–1(0,6) 
53°.
sinus d’un angle aigu =
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Le côté opposé à l’angle
est le
côté [AC], et l’hypoténuse
du triangle ABC est
le côté [BC]. On a donc
.
• Comme les longueurs sont des nombres positifs et que l’hypoténuse est le plus grand des côtés du triangle rectangle, on a l’inégalité suivante :
.• D’après le schéma précédent, nous avons
, donc
.
Pour calculer la mesure d'un angle connaissant son sinus, on utilise la fonction sin–1 de la calculatrice.
Si sin(
) = 0,56 alors 
=
sin–1(0,56) 
34°.
tangente d’un angle aigu =
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Le côté opposé à l’angle
est le
côté [AC]
et le côté adjacent à l'angle est le
côté [AB].On a donc
.
• Les longueurs sont des nombres positifs ; on peut donc écrire pour les angles aigus :
.• Un moyen pour retenir les définitions est l’anagramme : SOH CAH TOA, où par exemple SOH veut dire que le Sinus (S) d’un angle aigu égal au quotient de la longueur du côté Opposé (O) par la longueur de l’Hypoténuse (H).
Pour calculer la mesure d'un angle connaissant sa tangente, on utilise la fonction tan–1 de la calculatrice.
Si tan(
) = 26, alors 
=
tan–1(26) 
88°.
On a la relation :
.
On se place dans un triangle rectangle ABC rectangle en A.
Par définition, 
(le quotient reste
inchangé si on multiplie par BC en haut et en bas)
On a la relation :
.
On se place dans un triangle
rectangle ABC rectangle
en A.
Par définition, 
et 
.
D'où :
(d'après le
théorème de Pythagore appliqué au
triangle ABC)
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