Fiche de cours

Le vocabulaire de la logique- Seconde- Mathématiques

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Objectifs
  • Utiliser les connecteurs logiques « et », « ou » et la négation « non ».
  • Reconnaitre et utiliser les symboles logiques.
  • Reconnaitre et utiliser les quantificateurs.
Points clés
  • Connecteurs logiques :
    • et : remplir les deux conditions ;
    • ou : remplir une des conditions ;
    • non : condition inverse.
  • Implication : P ⇒ Q signifie que si P est vraie alors Q est vraie.
  • Équivalence : P ⇔ Q signifie que si P est vraie alors Q est vraie et si Q est vraie alors P est vraie.
  • Quantificateurs :
    • quel que soit ;
    • il existe.
Pour bien comprendre

Géométrie plane

1. Connecteurs logiques et négation
a. Connecteurs logiques
OU

Une proposition « P ou Q » est vraie si P est vérifiée ou si Q est vérifiée.

Exemple
P : « Ses côtés opposés sont égaux »
Q : « Ses côtés opposés sont parallèles »
Un quadrilatère est un parallélogramme si « P ou Q » , c’est-à-dire si ses côtés opposés sont égaux ou si ses côtés opposés sont parallèles.
Remarque
Une proposition « P ou Q » est fausse lorsque P et Q sont toutes les deux fausses.
ET

Une proposition « P et Q » est vraie si à la fois P et Q sont vérifiées.

Exemple
P : « Ses quatre côtés sont égaux »
Q : « Ses diagonales sont de même longueur »
Un quadrilatère est un carré si « P et Q » , c’est-à-dire si ses quatre côtés sont égaux et si ses diagonales sont de même longueur.
Remarque
Une proposition « P et Q » est fausse lorsque P ou Q est fausse.
b. Négation
Non

La proposition « non P » est vraie lorsque la proposition P est fausse.

Remarque
Une proposition « non P » est fausse lorsque P est vraie.
Exemple
P : « Le triangle est rectangle »
Non P : « Le triangle n’est pas rectangle »
2. Implication et équivalence
a. Implication

P implique Q (noté « P ⇒ Q ») :
Si la proposition P est vraie alors la proposition Q est vraie.

Remarque
Si la proposition Q est vraie, cela n’implique pas toujours Q ⇒ P.
Exemple
P : « L’individu choisi est parisien »
Q : « L’individu choisi est français »
P ⇒ Q : Si l’individu choisi est parisien alors il est français.

Par contre, Q ⇏ P : Si l’individu choisi est français, il n’est pas forcément parisien.
b. Équivalence

P est équivalent à Q (noté « P ⇔ Q ») :
Si la proposition P est vraie alors la proposition Q est vraie. (P ⇒ Q)
Si la proposition Q est vraie, alors la proposition P est vraie également.
(Q ⇒ P)

Remarque
Dans un théorème, l’équivalence se présente sous la forme « P est vraie si et seulement si Q est vraie ».
Exemple
Dans un triangle ABC,
P : « AB2 = AC2 + BC2 »
Q : « Le triangle ABC est rectangle en C »
P ⇒ Q : Si AB2 = AC2 + BC2 alors le triangle ABC est rectangle en C
Q ⇒ P : Si le triangle ABC est rectangle alors AB2 = AC2 + BC2
P ⇒ Q et Q ⇒ P donc P ⇔ Q
3. Quantificateurs

Les expressions « quel que soit » et « il existe » permettent de désigner les éléments qui nous intéressent dans un énoncé.

« Quel que soit » signifie « pour tout », c'est un quantificateur universel.

Exemple
Quel que soit . Cela signifie que le carré d'un nombre réel est toujours positif.

« Il existe » signifie « il existe au moins un », c’est un quantificateur existentiel.

Exemple
Il existe un nombre k tel que k2 = 1. En effet, 1² = (–1)² = 1.

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