Les coordonnées d'un vecteur
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- Connaitre la signification d’une base orthonormée, d’un repère orthonormé.
- Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée.
- Déterminer les coordonnées d’un vecteur égal à un autre vecteur.
- Calculer la norme d’un vecteur.
- Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs.
- Calculer les coordonnées du produit d’un vecteur par un nombre réel.
- Dire que le vecteur
a pour coordonnées
x et
y dans la base
orthonormée (
, 
) veut dire
que 
.
Pour indiquer les coordonnées du vecteur, on utilise la
notation 
ou 
.
- On considère deux points A(xA ; yA)
et B(xB ; yB). Le
vecteur
a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA ).
- Soient (x ;
y) et
(x' ;
y') deux vecteurs du plan
muni d’une base orthonormée (, ).
Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.
Autrement dit,
.
- Soit
- On considère deux points A(xA ; yA)
et B(xB ; yB),
alors
.
On peut ainsi écrire
.
- Dans un plan muni d'une base, si
et 
alors le
vecteur 
a pour
coordonnées 
.
- Dans un plan muni d'une base, si
est un nombre réel
alors le vecteur 
a pour
coordonnées 
.
- Caractéristiques d'un vecteur
- Somme de deux vecteurs
- Produit d'un vecteur par un réel
Soient 
et 
deux vecteurs dont les
directions sont perpendiculaires et tels
que 
.
On peut alors dire que 
est une base
orthonormée du plan. On peut lire les
coordonnées d’un vecteur dans cette base.
Soient O un point
du plan et les vecteurs et définis
précédemment. On définit alors un
repère orthonormé (O ; , ). On peut lire les
coordonnées d’un point dans ce repère.
Le plan étant muni d’un repère
orthonormé (O ; , ),
soient un
vecteur donné et M le point du plan tel
que 
. On note (x ; y) les
coordonnées du point M.
On peut écrire 
et
aussi .
Ainsi, tout vecteur du plan peut
s’écrire sous la forme 
.
a pour coordonnées
x et
y dans
la base orthonormée (, ) veut dire
que . Pour indiquer les coordonnées du vecteur
, on utilise la
notation ou .
Sur le graphique ci-dessous, muni d’une base orthonormée (
, ), lire les coordonnées
des vecteurs et .
D'après le graphique, on a : 
et 
.
Le vecteur
a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA ).
Dans un plan muni d’un repère orthonormé (O ;
, ), on considère les points
E(3 ; 4)
F(–2 ; 1) et
G(–4 ; 2). On
souhaite calculer les coordonnées des
vecteurs 
et 
.(–2 – 3 ; 1 –
4) d’où (–5 ; –3).(–4 + 2 ; 2 –
1) d’où (–2 ; 1).
(x ;
y) et (x' ;
y') deux vecteurs du plan
muni d’une base orthonormée (, ). Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.
Autrement dit,
.
On considère les vecteurs
(2 ;
3) et (x ; y –
4) dans la base
orthonormée (, ). On souhaite
déterminer les valeurs de x et y pour
que 
. Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées, donc x = 2 et y – 4 = 3, c’est-à-dire y = 7.
On se place dans un plan muni d’un repère
orthonormé (O ; , ).
On peut calculer la norme d'un vecteur à partir de
ses coordonnées ou à partir des
coordonnées de ses extrémités.
Dans un repère orthonormé
, soit le vecteur
. On peut calculer la norme de ce
vecteur : 
.
.On peut ainsi écrire
.
Dans un repère orthonormé
, on considère les
points E(3
; 4), F(–2 ; 1) et
G(–4 ; 2). On
souhaite calculer la norme des
vecteurs 
et 
.
et alors le
vecteur a pour
coordonnées .
Dans un plan muni d'une base, si
et
alors 
.
est un nombre réel
alors le vecteur a pour
coordonnées .
Le plan étant muni d'une base, soient
Calculer
les coordonnées du vecteur 
Comme
D'où :
Soit
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