La somme de deux vecteurs
- Tracer la somme de deux vecteurs.
- Utiliser la relation de Chasles.
- L’enchainement d’une translation de
vecteur
et d’une translation
de vecteur 
est une translation de
vecteur 
.
Ce vecteur est appelé somme des
vecteurs 
et 
.
- Relation de Chasles : pour tous points
A, B et C du plan, on
a :
.
- La somme de deux vecteurs opposés est nulle.
Vecteurs
Sur le dessin ci-dessous, on enchaine une translation
de vecteur 
qui transforme un point A en un point A1 et une
translation de vecteur 
qui transforme un point A1 en un point
A2.
On constate que l’on peut passer directement du
point A au point
A2 par
une nouvelle translation. On dit alors que le point
A2 est
l’image du point A par la translation de
vecteur 
.
et d’une
translation de vecteur est une translation de
vecteur . Ce vecteur est appelé somme des
vecteurs et .
Pour mieux comprendre la méthode, utilisons deux exemples.
On considère les deux vecteurs
et 
ci-dessous et on souhaite construire la somme
des deux vecteurs 
et 
.
Les deux vecteurs ainsi tracés ne permettent pas un enchainement de deux translations. On trace un vecteur égal au vecteur
à l’extrémité du
vecteur 
. On appelle ce vecteur 
.On obtient ainsi la figure ci-dessous. Cette nouvelle figure permet d’effectuer un enchainement de translations.
Au lieu de tracer un vecteur égal au vecteur
à l’extrémité
de 
, on aurait pu choisir de tracer un vecteur
égal au vecteur 
à l’extrémité
de 
. Cela revient exactement au même.
On considère les deux vecteurs
et 
ci-dessous. 
Comme dans l’exemple 1, la représentation ci-dessus ne permet pas de tracer directement la somme des deux vecteurs. Il faut d'abord tracer le représentant du vecteur
qui a pour origine B. On construit alors le
vecteur somme 
.
Pour tous points A, B et C du plan, on a :
.
Le vecteur
est défini par une
somme de plusieurs vecteurs. On souhaite simplifier cette
somme en utilisant la relation de Chasles.
On considère le segment [AB] de milieu I.
Les vecteurs
et 
sont deux vecteurs opposés.On peut écrire
.
On considère le parallélogramme AEFG ci-dessous.
Les vecteurs
sont opposés et on peut
écrire 
.Les vecteurs
sont opposés et on peut
écrire 
.
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