La somme de deux vecteurs - Maxicours

La somme de deux vecteurs

Objectifs
  • Tracer la somme de deux vecteurs.
  • Utiliser la relation de Chasles.
Points clés
  • L’enchainement d’une translation de vecteur  et d’une translation de vecteur  est une translation de vecteur . Ce vecteur est appelé somme des vecteurs  et .
  • Relation de Chasles : pour tous points A, B et C du plan, on a : 
  • La somme de deux vecteurs opposés est nulle.
Pour bien comprendre

Vecteurs

1. Enchainement de deux translations
a. Explication

Sur le dessin ci-dessous, on enchaine une translation de vecteur qui transforme un point A en un point A1 et une translation de vecteur qui transforme un point A1 en un point A2.

On constate que l’on peut passer directement du point A au point A2 par une nouvelle translation. On dit alors que le point A2 est l’image du point A par la translation de vecteur .

L’enchainement d’une translation de vecteur  et d’une translation de vecteur  est une translation de vecteur . Ce vecteur est appelé somme des vecteurs  et .
b. Construction d'une somme de vecteurs

Pour mieux comprendre la méthode, utilisons deux exemples.

Exemple 1
On considère les deux vecteurs  et  ci-dessous et on souhaite construire la somme des deux vecteurs  et .

Les deux vecteurs ainsi tracés ne permettent pas un enchainement de deux translations. On trace un vecteur égal au vecteur  à l’extrémité du vecteur . On appelle ce vecteur .
On obtient ainsi la figure ci-dessous. Cette nouvelle figure permet d’effectuer un enchainement de translations.
Remarque
Au lieu de tracer un vecteur égal au vecteur  à l’extrémité de , on aurait pu choisir de tracer un vecteur égal au vecteur  à l’extrémité de . Cela revient exactement au même.
Exemple 2
On considère les deux vecteurs  et  ci-dessous.
Comme dans l’exemple 1, la représentation ci-dessus ne permet pas de tracer directement la somme des deux vecteurs. Il faut d'abord tracer le représentant du vecteur  qui a pour origine B. On construit alors le vecteur somme .
2. Relation de Chasles
Relation de Chasles
Pour tous points A, B et C du plan, on a : 

Exemples
Exemple
Le vecteur  est défini par une somme de plusieurs vecteurs. On souhaite simplifier cette somme en utilisant la relation de Chasles.

3. Somme de deux vecteurs opposés
La somme de deux vecteurs opposés est nulle.
Exemple 1
On considère le segment [AB] de milieu I.
Les vecteurs  et  sont deux vecteurs opposés.
On peut écrire .
Exemple 2
On considère le parallélogramme AEFG ci-dessous.  

Les vecteurs  sont opposés et on peut écrire .
Les vecteurs  sont opposés et on peut écrire .

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