Les vecteurs - Maxicours

Les vecteurs

Objectifs :
Dans cette fiche nous allons aborder les notions suivantes :
- Que représente une translation en mathématiques ?
- Comment peut-on la caractériser à l’aide des vecteurs ?
- Quelles sont les principales propriétés des vecteurs ?
1. Translation et vecteurs
Le déplacement rectiligne d’un objet d’une position de départ vers une position d’arrivée s’appelle une translation.

 

Pour caractériser ce déplacement, on peut relier un point noté A de la figure de départ au même point noté A’ de la figure d’arrivée par une flèche que l’on appellera vecteur. On notera ce vecteur à l’aide de son point d’origine et de son extrémité sous la forme : .



Définition : La translation qui transforme le point A en le point A’ s’appelle la « translation de vecteur ».
2. Egalité vectorielle
On peut constater sur la figure ci-dessous que les couples de points (A,A’), (B,B’) et (C,C’) définissent la même translation que l’on peut indifféremment nommer « translation de vecteur » ou « translation de vecteur » ou « translation de vecteur ».



Ainsi on peut écrire que et on a la propriété suivante :

Propriété

signifie que :
• Les droites (AA’) et (BB’) sont parallèles (même direction)
• Les demi-droites [AA’) et [BB’) ont le même sens
• Les segments [AA’] et [BB’] ont la même longueur
Donc, ainsi que sont des représentants d’un même vecteur que l’on peut également noter, par exemple, à l’aide d’une lettre minuscule et on a

Exemple :
En utilisant le dessin suivant, écrire des égalités vectorielles.

ABCD est un rectangle.

Réponses :


Cas particulier : Un vecteur dont un représentant a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté

Par exemple :
3. Vecteurs et parallélogrammes
Les vecteurs et les parallélogrammes sont reliés par les propriétés suivantes :

Propriété

Si AEFG est un parallélogramme, alors
En effet comme AEFG est un parallélogramme (AE) // (GF) et AE = GF. De plus le sens de A vers E est le même que celui de G vers F. D’où

Propriété réciproque

Si alors AEFG est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Autre propriété

Si alors les deux segments [AD] et [BC] ont le même milieu.

En effet si alors ABDC est un parallélogramme et donc ses diagonales [AD] et [BC] ont le même milieu.

Et sa propriété réciproque :
Si les deux segments [AD] et [BC] ont le même milieu alors
4. Norme d'un vecteur
Définition : On appelle norme d’un vecteur la longueur du segment [AB]. On la note et on a = AB.

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