Les vecteurs
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- Définir une translation.
- Repérer deux vecteurs égaux.
- Utiliser l’égalité de deux vecteurs dans une résolution de problème mettant en jeu des parallélogrammes.
- La translation qui transforme le point A en le point A’ s’appelle la « translation de vecteur ». On dit que le point A' est l'image du point A par la translation de vecteur .
- Les caractéristiques d’un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme.
- Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté . Ce vecteur n’a pas de direction, pas de sens et sa norme est égale à 0.
- Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même norme.
- ABCD est un parallélogramme .
- Deux vecteurs opposés ont la même direction, la même norme mais ont des sens contraires.
Translation
Pour caractériser ce déplacement, on peut
relier un point noté A de la figure de départ
au même point noté A’ de la figure
d’arrivée par une flèche que
l’on appellera vecteur. On notera ce vecteur
à l’aide de son point d’origine et de
son extrémité sous la forme
: .
On dit que le point A' est l'image du point A par la translation de vecteur .
On considère le vecteur tracé précédemment.
- sa direction : la droite (AA’) ;
- son sens : de A vers A’ ;
- sa norme : la longueur AA’ notée aussi .
Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté . Ce vecteur n’a pas de direction, pas de sens et sa norme est égale à 0.
On reprend la figure de la moto avec la translation qui transforme A en A’ :
Sur cette figure, les vecteurs , et ont :
- la même direction, car les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont parallèles ;
- le même sens, c’est-à-dire vers la droite ;
- la même norme, car les longueurs AA’, BB’ et CC’ sont égales.
Ainsi, on peut écrire que .
Remarque : les vecteurs , et sont des représentants d'un même vecteur que l'on peut noter à l'aide d'une lettre minuscule . On note alors .
On considère le rectangle ABCD de centre O.
Les propriétés vues au collège permettent de dire que les côtés de ce rectangle sont parallèles deux à deux et de même longueur.
On peut donc écrire les égalités vectorielles suivantes : ou ou ou .
De plus, les diagonales du rectangle se coupent en leur milieu. On peut donc écrire les égalités vectorielles suivantes : ou ou ou .
On considère le parallélogramme ABCD suivant.
Les côtés d’un parallélogramme sont parallèles deux à deux et de même longueur, on peut donc écrire que .
Réciproquement, un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et de même longueur est un parallélogramme donc, si , alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
On peut donc retenir des deux points précédents :
Les vecteurs et sont des vecteurs opposés : ils ont la même direction, c’est-à-dire la droite (AB) ; la même norme, c’est-à-dire la longueur AB ; par contre ils n’ont pas le même sens, le vecteur a son sens de A vers B alors que le vecteur a son sens de B vers A. On note .
Sur la figure ci-dessous, AEFG est un parallélogramme.
Les vecteurs et ont la même direction, la même norme et des sens contraires, donc ce sont des vecteurs opposés et on peut écrire .
Les vecteurs et ont la même direction, la même norme et des sens contraires, donc ce sont des vecteurs opposés et on peut écrire .
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