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Les vecteurs

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Objectifs
  • Définir une translation.
  • Repérer deux vecteurs égaux.
  • Utiliser l’égalité de deux vecteurs dans une résolution de problème mettant en jeu des parallélogrammes.
Points clés
  • La translation qui transforme le point A en le point A’ s’appelle la « translation de vecteur ». On dit que le point A' est l'image du point A par la translation de vecteur .
  • Les caractéristiques d’un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme.
  • Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté . Ce vecteur n’a pas de direction, pas de sens et sa norme est égale à 0.
  • Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même norme.
  • ABCD est un parallélogramme .
  • Deux vecteurs opposés ont la même direction, la même norme mais ont des sens contraires.
Pour bien comprendre

Translation

1. Translation et vecteurs
Le déplacement rectiligne d’un objet d’une position de départ vers une position d’arrivée s’appelle une translation.

Pour caractériser ce déplacement, on peut relier un point noté A de la figure de départ au même point noté A’ de la figure d’arrivée par une flèche que l’on appellera vecteur. On notera ce vecteur à l’aide de son point d’origine et de son extrémité sous la forme : .  

La translation qui transforme le point A en le point A’ s’appelle la « translation de vecteur ».
On dit que le point A' est l'image du point A par la translation de vecteur .
2. Caractéristiques d'un vecteur

On considère le vecteur  tracé précédemment.

Ce vecteur a trois caractéristiques :
  • sa direction : la droite (AA’) ;
  • son sens : de A vers A’ ;
  • sa norme : la longueur AA’ notée aussi .
Cas particulier
Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté . Ce vecteur n’a pas de direction, pas de sens et sa norme est égale à 0.
Exemples

3. Vecteurs égaux
a. Caractéristiques de deux vecteurs égaux
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont les mêmes caractéristiques, c’est-à-dire même direction, même sens et même norme.
Exemple 1
On reprend la figure de la moto avec la translation qui transforme A en A’ :

Sur cette figure, les vecteurs  ,  et   ont :

  • la même direction, car les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont parallèles ;
  • le même sens, c’est-à-dire vers la droite ;
  • la même norme, car les longueurs AA’, BB’ et CC’ sont égales.

Ainsi, on peut écrire que  .

Remarque : les vecteurs  et  sont des représentants d'un même vecteur que l'on peut noter à l'aide d'une lettre minuscule . On note alors  .

Exemple 2
On considère le rectangle ABCD de centre O.

Les propriétés vues au collège permettent de dire que les côtés de ce rectangle sont parallèles deux à deux et de même longueur.
On peut donc écrire les égalités vectorielles suivantes :  ou  ou  ou .   
De plus, les diagonales du rectangle se coupent en leur milieu. On peut donc écrire les égalités vectorielles suivantes :  ou  ou  ou .
b. Égalité de vecteurs et parallélogramme

On considère le parallélogramme ABCD suivant.

Les côtés d’un parallélogramme sont parallèles deux à deux et de même longueur, on peut donc écrire que 

Réciproquement, un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et de même longueur est un parallélogramme donc, si , alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

On peut donc retenir des deux points précédents :

ABCD est un parallélogramme .
4. Vecteurs opposés
Deux vecteurs opposés sont des vecteurs qui ont la même direction, la même norme mais des sens contraires.
Exemple 1
Les vecteurs  et  sont des vecteurs opposés : ils ont la même direction, c’est-à-dire la droite (AB) ; la même norme, c’est-à-dire la longueur AB ; par contre ils n’ont pas le même sens, le vecteur   a son sens de A vers B alors que le vecteur  a son sens de B vers A. On note .
Exemple 2
Sur la figure ci-dessous, AEFG est un parallélogramme.
Les vecteurs  et  ont la même direction, la même norme et des sens contraires, donc ce sont des vecteurs opposés et on peut écrire .
Les vecteurs  et   ont la même direction, la même norme et des sens contraires, donc ce sont des vecteurs opposés et on peut écrire .

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