Les vecteurs
Objectifs :
Dans cette fiche nous allons aborder les notions suivantes
:
- Que représente une translation en mathématiques ?
- Comment peut-on la caractériser à l’aide des vecteurs ?
- Quelles sont les principales propriétés des vecteurs ?
- Que représente une translation en mathématiques ?
- Comment peut-on la caractériser à l’aide des vecteurs ?
- Quelles sont les principales propriétés des vecteurs ?
1. Translation et vecteurs
Le déplacement rectiligne d’un objet
d’une position de départ vers une position
d’arrivée s’appelle une translation.
Pour caractériser ce déplacement, on peut relier un point noté A de la figure de départ au même point noté A’ de la figure d’arrivée par une flèche que l’on appellera vecteur. On notera ce vecteur à l’aide de son point d’origine et de son extrémité sous la forme :
.
Définition : La
translation qui transforme le point A en le point
A’ s’appelle la « translation de vecteur
».
».
2. Egalité vectorielle
On peut constater sur la figure ci-dessous que les couples
de points (A,A’), (B,B’) et (C,C’)
définissent la même translation que l’on
peut indifféremment nommer « translation de
vecteur 
» ou « translation de vecteur 
» ou « translation de vecteur 
».
Ainsi on peut écrire que
et
on a la propriété suivante :
Exemple : En utilisant le dessin suivant, écrire des égalités vectorielles.
ABCD est un rectangle.
Réponses :
Cas particulier : Un vecteur dont un représentant a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté
Par exemple :
» ou « translation de vecteur » ou « translation de vecteur
».Ainsi on peut écrire que
et
on a la propriété suivante :
Propriété
signifie que :
• Les droites (AA’) et (BB’) sont parallèles (même direction)
• Les demi-droites [AA’) et [BB’) ont le même sens
• Les segments [AA’] et [BB’] ont la même longueur
Donc,
ainsi que 
sont des représentants d’un
même vecteur que l’on peut également
noter, par exemple, à l’aide d’une
lettre minuscule 
et on a 
signifie que :• Les droites (AA’) et (BB’) sont parallèles (même direction)
• Les demi-droites [AA’) et [BB’) ont le même sens
• Les segments [AA’] et [BB’] ont la même longueur
Donc,
ainsi que sont des représentants d’un
même vecteur que l’on peut également
noter, par exemple, à l’aide d’une
lettre minuscule
et on a
Exemple : En utilisant le dessin suivant, écrire des égalités vectorielles.
ABCD est un rectangle.
Réponses :
Cas particulier : Un vecteur dont un représentant a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté
Par exemple :
3. Vecteurs et parallélogrammes
Les vecteurs et les parallélogrammes sont reliés
par les propriétés suivantes :
Propriété
Si AEFG est un parallélogramme, alors
Si AEFG est un parallélogramme, alors
En effet comme AEFG est un parallélogramme (AE) //
(GF) et AE = GF. De plus le sens de A vers E est le
même que celui de G vers F. D’où
Propriété
réciproque
Si
alors AEFG est un parallélogramme
(éventuellement aplati).
Si
alors AEFG est un parallélogramme
(éventuellement aplati).
Autre
propriété
Si
alors les deux segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
Si
alors les deux segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
En effet si alors
ABDC est un parallélogramme et donc ses diagonales
[AD] et [BC] ont le même milieu.
alors
ABDC est un parallélogramme et donc ses diagonales
[AD] et [BC] ont le même milieu.
Et sa propriété
réciproque :
Si les deux segments [AD] et [BC] ont le même milieu alors
Si les deux segments [AD] et [BC] ont le même milieu alors
4. Norme d'un vecteur
Définition : On
appelle norme d’un
vecteur 
la
longueur du segment [AB]. On la note 
et on a = AB.
la
longueur du segment [AB]. On la note
et on a = AB.
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