Les différents raisonnements mathématiques
- Reconnaitre les différents types de raisonnement.
- Savoir quel type de raisonnement utiliser dans telle ou telle situation.
- Disjonction de cas : On vérifie notre propriété en testant différents cas et on montre que tous les cas aboutissent au même résultat.
- Raisonnement par l’absurde : On part du principe que la propriété est vrai et on montre qu’on arrive à quelque chose d’absurde ou d’incohérent.
- Contre exemple : On trouve une situation dans laquelle notre propriété ne marche pas.
- Reconnaitre des implications et équivalences.
- Déterminer et reconnaitre les négations d’affirmation.
Pour prouver qu’une affirmation P est vraie, il est parfois nécessaire de tester si l’affirmation est vraie lorsque l’on différencie les cas.
Montrer que quelque soit



Pour cela on utilise une disjonction de cas :
- Nous allons d’abord tester notre affirmation
pour un nombre
pair.
On a doncavec k∈
.
Dans ce cas,or
est un nombre entier car
. L’affirmation est donc vérifiée si
est pair.
- Nous testons ensuite notre affirmation pour un
nombre
impair.
On a doncavec k∈
.
Dans ce cas,or
est un nombre entier car
. L’affirmation est donc vérifiée si
est impair.
L’affirmation est vraie pour pair et
pour
impair.
L’affirmation est donc vérifiée
quelque soit
.
Partons du principe que sur Mars il existe deux types de martiens avec un comportement très différent. Les martiens verts et les martiens rouges.
Pour vérifier l’affirmation P suivante : « Les martiens sont tous accueillants », on va faire une disjonction de cas.
Nous allons d’abord vérifier si les martiens verts sont accueillants.
Ensuite, nous vérifierons que les martiens rouges sont également accueillants.
Si les deux conditions sont vérifiées alors nous allons conclure que l’affirmation P est vraie.
Pour prouver qu’une affirmation P est fausse, on part du principe que cette propriété est vraie. On arrive alors à une incohérence ou une absurdité qui nous prouve que l’affirmation P ne peut pas être vraie et s’avère donc fausse.
Prouvons que

Partons du principe que












On a donc :





Cela veut dire que


Or, dans notre hypothèse de départ, nous avons choisi


On en conclut donc, à la suite de notre raisonnement par l’absurde, que

Démontrons par l’absurde que « Les pommes ne poussent pas sur des poiriers ».
Pour cela on considère la proposition suivante comme vraie « Les pommes poussent sur des poiriers ». Or les fruits qui poussent sur des poiriers sont des poires donc puisque les pommes poussent sur des poiriers, ce sont des poires. C’est une absurdité.
On peut donc conclure que les pommes ne poussent pas sur des poiriers.
Pour prouver qu’une affirmation P est fausse, il peut nous suffire de trouver un exemple pour lequel l’affirmation est fausse.
Prenons l’affirmation « Le carré d’un nombre n est toujours pair ».
Prenons n=3. n2 = 9 or 9 est impair donc l’affirmation est fausse.
Pour démontrer que l’affirmation « Les martiens bleus sont gentils » est fausse, il nous suffit de trouver un martien bleu qui n’est pas gentil.

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