Réunion, intersection d'évènements et évènement contraire
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- Connaitre la définition de la réunion de deux évènements.
- Connaitre la définition de l’intersection de deux évènements.
- Connaitre la définition d'un évènement contraire.
- Si A et B sont deux évènements, l’évènement (A ou B) est l’évènement qui se réalise lorsque l’un au moins des deux évènements a lieu.
- Si A et B sont deux évènements, l’évènement (A et B) est l’évènement qui se réalise lorsque A et B ont lieu tous les deux simultanément.
- L’évènement contraire de l’évènement A est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas.
L’évènement (A ou B) se note aussi (A
B) et on parle alors de la réunion de A
et de B.
On lance un dé à six faces non truqué. On note A l’évènement « obtenir un nombre impair » et B l’évènement « obtenir un nombre strictement plus grand que 2 ». Alors l’évènement (A
B) sera
réalisé si on obtient l’une des faces 1,
3, 4, 5, 6.On notera alors ce résultat (A
B) = {1
; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Si A et B sont deux évènements, on a la relation suivante :
p(A
B) = p(A) + p(B) – p(A
B).
On lance un dé à six faces non truqué. On note A l’évènement « obtenir un nombre impair » et B l’évènement « obtenir un nombre strictement plus grand que 2 ». Nous allons vérifier la relation précédente.
Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité.
(A
B) = {1
; 3 ; 4 ; 5 ; 6} donc p(A
B) =
A = {1 ; 3 ; 5} donc p(A) =
B = {3 ; 4 ; 5 ; 6} donc p(B) =
(A
B) = {3
; 5} donc p(A
B) =
p(A) + p(B) – p(A
B) =
ce qui est bien la valeur de p(A
B)
trouvée ci-dessus.
L’évènement (A et B) se note aussi (A
B) et on parle de l’intersection de A
et de B.
Lors du lancer d’un dé à six faces non truqué, on appelle A l’évènement « obtenir un nombre impair » et B l’évènement « obtenir un nombre strictement plus grand que 2 ».
L’évènement A est réalisé si on obtient l’une des faces 1, 3, 5.
On note A = {1 ; 3 ; 5}.
L’évènement B est réalisé si on obtient l’une des faces 3, 4, 5, 6.
On note B = {3 ; 4 ; 5 ; 6}.
L’évènement (A
B) est
réalisé si on obtient soit la face 3, soit la
face 5.On notera alors (A
B) = {3
; 5}.
Cas particulier
On dit que deux
évènements A et B sont
incompatibles ou disjoints s’ils
ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Dans ce cas, on a p(A
B) =
p(A) +
p(B).
Lors du lancer d’un dé à six faces non truqué, on appelle A l’évènement « obtenir la face 5 » et B l’évènement « obtenir un nombre pair ». Ces deux évènements ne peuvent pas se produire en même temps, ils sont donc incompatibles.
.
Une urne contient une boule Blanche, une boule Verte et une boule Marron. On considère l’expérience qui consiste un prélever au hasard une boule de l’urne.
On considère l’évènement A « tirer la boule marron ». Son évènement contraire est « tirer la boule blanche ou la boule verte ».
La somme de la probabilité d’un évènement A et de la probabilité de son contraire est égale à 1. On a donc p(A) + p(
) = 1.
On peut donc calculer la probabilité de 
à
partir de celle de A par la formule : p()= 1 – p(A).
Dans l’exemple précédent, nous sommes en équiprobabilité et A = {Marron}
d’où p(A) =
D’où p(
)= 1 – p(A) = 1
– =
.
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