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Le sens de variation d'une suite

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Objectifs
  • Découvrir la notion de sens de variation pour les suites.
  • Étudier le sens de variation d'une suite arithmétique ou géométrique.
Points clés
  • Une suite est croissante sur  lorsque  pour tout n.
  • Une suite est décroissante sur  lorsque  pour tout n.
  • Une suite arithmétique est croissante lorsque . 
     Une suite arithmétique est décroissante lorsque .
  • Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 positif de raison q.
  • (un) est croissante lorsque
    (un) est décroissante lorsque .
Pour bien comprendre
  • Suites arithmétiques
  • Suites géométriques
1. Monotonie d'une suite
Soit (un) une suite définie sur .
Dire que (un) est croissante sur signifie que pour tout n, .
Dire que (un) est décroissante sur signifie que pour tout n, .
Une suite à la fois croissante et décroissante est une suite constante : elle vérifie  pour tout n.
Remarques
  • Si la suite est définie à partir d’un certain rang p , on dira qu’elle est croissante (respectivement décroissante) lorsque (respectivement ) .
  • Il se peut que la suite soit croissante (ou décroissante) à partir d’un certain rang uniquement.
  • Une suite peut être ni croissante, ni décroissante ; par exemple, . Les termes de cette suite sont alternativement 1, –1, 1, –1...

Étudier la monotonie d’une suite, c’est dire si la suite est croissante, décroissante, ou ni l’un ni l’autre.

2. Sens de variation d'une suite arithmétique ou géométrique
a. Suites arithmétiques
Une suite arithmétique est croissante lorsque .
Une suite arithmétique est décroissante lorsque .
Exemple
La suite (un) définie par  avec u0 = 1 est une suite arithmétique de raison r = –3 donc décroissante sur .
b. Suites géométriques
Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 positif de raison q.
(un) est croissante lorsque
(un) est décroissante lorsque .
Exemple
La suite (un) définie par  avec u0 = 4 est une suite géométrique de raison  avec u0 > 0.
Comme , la suite (un) est décroissante sur .
Remarque
Si u0 < 0, les variations sont inversées.

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