Le sens de variation d'une suite
Objectifs
- Découvrir la notion de sens de variation pour les suites.
- Étudier le sens de variation d'une suite arithmétique ou géométrique.
Points clés
- Une suite est croissante sur
lorsque 
pour tout n.
- Une suite est décroissante
sur
lorsque 
pour tout n.
- Une suite arithmétique est croissante lorsque
.
Une suite arithmétique est décroissante lorsque
.
- Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 positif de raison q.
- (un) est
croissante lorsque
(un) est décroissante lorsque
.
Pour bien comprendre
- Suites arithmétiques
- Suites géométriques
1. Monotonie d'une suite
Soit (un) une suite définie
sur 
.
Dire que (un) est croissante sursignifie que pour tout n, 
.
Dire que (un) est décroissante sur
signifie que pour tout
n, 
.
Une suite à la fois croissante et décroissante est une suite constante : elle vérifie
pour tout n.
.Dire que (un) est croissante sur
signifie que pour tout n, .Dire que (un) est décroissante sur
signifie que pour tout
n, .Une suite à la fois croissante et décroissante est une suite constante : elle vérifie
pour tout n.
Remarques
- Si la suite est définie à partir
d’un certain rang p , on dira
qu’elle est croissante (respectivement
décroissante) lorsque
(respectivement 
) 
.
- Il se peut que la suite soit croissante (ou décroissante) à partir d’un certain rang uniquement.
- Une suite peut être ni croissante, ni
décroissante ; par exemple,
. Les termes de cette suite sont alternativement 1,
–1, 1, –1...
Étudier la monotonie d’une suite, c’est dire si la suite est croissante, décroissante, ou ni l’un ni l’autre.
2. Sens de variation d'une suite arithmétique ou
géométrique
a. Suites arithmétiques
Une suite arithmétique est croissante lorsque
.
Une suite arithmétique est décroissante lorsque.
.Une suite arithmétique est décroissante lorsque
.
Exemple
La suite (un) définie par
avec u0 = 1 est
une suite arithmétique de
raison r = –3 donc
décroissante sur 
.
La suite (un) définie par
avec u0 = 1 est
une suite arithmétique de
raison r = –3 donc
décroissante sur .
b. Suites géométriques
Soit (un) une suite
géométrique de premier terme
u0 positif de raison q.
(un) est croissante lorsque
(un) est décroissante lorsque.
(un) est croissante lorsque
(un) est décroissante lorsque
.
Exemple
La suite (un) définie par
avec u0 = 4 est
une suite géométrique de
raison 
avec
u0 > 0.
Comme
, la suite (un) est
décroissante sur 
.
La suite (un) définie par
avec u0 = 4 est
une suite géométrique de
raison avec
u0 > 0.Comme
, la suite (un) est
décroissante sur .
Remarque
Si u0 < 0, les variations sont inversées.
Si u0 < 0, les variations sont inversées.
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