Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations sur les dérivées
- Définir une fonction dérivée.
- Connaitre les fonctions dérivées
de
(où k est un
réel), 
, 
et 
.
- Connaitre la dérivée d’une somme, la dérivée de kƒ (où k est un réel), la dérivée d’un polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
- La fonction dérivée
de
sur I, est la fonction
notée 
qui à
tout 
fait
correspondre 
, le nombre
dérivé de 
en x.
- Pour déterminer la fonction
dérivée de
:
- On calcule
.
- On étudie vers quoi tend
lorsque 
tend vers 0.
C’est 
.
- On en déduit la fonction
dérivée
: 
en
remplaçant 
par 
dans .
- On calcule
- Formules de la dérivée :
- d'une somme :
- du produit d'une fonction par un réel
:
.
- d'une somme :
- Pour connaitre la dérivée d'une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3, il suffit d'appliquer les propriétés précédentes sur la dérivée d'une somme et la dérivée du produit d'une fonction par un réel.
Nombre dérivé
Soit 
une fonction définie sur
un intervalle I. Soient et deux éléments
de I.
est dérivable
en 
» signifie qu'il
existe un réel L vers lequel le taux de
variation de 
tend
lorsque 
tend vers 
.Autrement dit, plus
est proche de 
, plus 
est proche de L.Lorsqu'il existe, ce réel L est noté
et s'appelle le
nombre dérivé de 
en 
.
Si on pose 
, alors le taux de variation
s'écrit 
. Comme
lorsque 
est proche de 
, 
est proche de 0,
alors 
est donc aussi le nombre dont
se rapproche
lorsque 
se rapproche de 0.
sur I, est la fonction
notée qui à
tout fait
correspondre , le nombre
dérivé de en x.
:
- On calcule .
- On étudie vers quoi tend lorsque tend vers 0.
C’est .
- On en déduit la fonction
dérivée : en
remplaçant par dans .
Plaçons nous en un réel
quelconque et calculons le taux
d'accroissement de f .Pour h ≠ 0,
Pour tout réel
, 
tend vers 
, ce qui prouve que la fonction est dérivable sur R et pour
tout , 
. On emploie plutôt la
variable 
pour l'expression d'une
fonction, c'est pourquoi on écrira
plutôt 
.
De la même façon que dans le paragraphe
1b, on détermine l'expression des
dérivées des fonctions usuelles suivantes
:
(où k est un réel)
On les consigne dans le tableau ci-dessous.
| f(x) |
définie pour
x appartenant à
|
f '(x) |
définie pour
x appartenant à
|
| k constante réelle |
|
0 |
|
| x |
|
1 |
|
| x2 |
|
2x |
|
| x3 |
|
3x2 |
|
Pour ce qui suit, on pose : soient 
et 
deux
fonctions de 
, et
un
réel fixé.
et
. Les
notations simplifiées et sont générales
jusqu’au bac.
Formule :
.
Soit
et définies
sur 
par
et 
. Ces deux fonctions sont dérivables
sur et
on a : 
puisque 
et 
.
.
Soit
,
définie et dérivable sur . La
fonction 
est définie et
dérivable sur et
on a : 
puisque 
et 
.
Les propriétés précédentes permettent de calculer la dérivée de toute fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
Donner la dérivée de la fonction
, définie sur 
.Soient les fonctions
, 
et 
définies et
dérivables sur . g est la somme des fonctions u, v et w. La dérivée de g est donc égale à la somme des dérivées de u, v et w :
.Or, u et v sont chacune le produit d'une fonction par un réel. On applique la formule :
.On a donc :
.w est une constante, donc
.D'où :
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