Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations sur les dérivées - Maxicours

Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations sur les dérivées

Objectifs
  • Définir une fonction dérivée.
  • Connaitre les fonctions dérivées de  (où k est un réel), et .
  • Connaitre la dérivée d’une somme, la dérivée de kƒ (où k est un réel), la dérivée d’un polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
Points clés
  • La fonction dérivée de  sur I, est la fonction notée  qui à tout  fait correspondre , le nombre dérivé de  en x.
  • Pour déterminer la fonction dérivée de  :
    1. On calcule .
    2. On étudie vers quoi tend  lorsque  tend vers 0. C’est .
    3. On en déduit la fonction dérivée  :  en remplaçant   par  dans .
  • Formules de la dérivée :
    • d'une somme : 
    • du produit d'une fonction par un réel : .
  • Pour connaitre la dérivée d'une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3, il suffit d'appliquer les propriétés précédentes sur la dérivée d'une somme et la dérivée du produit d'une fonction par un réel.
Pour bien comprendre

Nombre dérivé

1. Nombre dérivé, fonction dérivée
a. Fonction dérivable en a et nombre dérivé (rappel)

Soit  une fonction définie sur un intervalle I. Soient  et  deux éléments de I.

Dire que «  est dérivable en  » signifie qu'il existe un réel L vers lequel le taux de variation de  tend lorsque  tend vers .
Autrement dit, plus  est proche de , plus  est proche de L.
Lorsqu'il existe, ce réel L est noté  et s'appelle le nombre dérivé de  en .

Si on pose , alors le taux de variation s'écrit . Comme lorsque  est proche de , est proche de 0, alors  est donc aussi le nombre dont se rapproche lorsque  se rapproche de 0.

b. Fonction dérivée
La fonction dérivée de  sur I, est la fonction notée  qui à tout  fait correspondre , le nombre dérivé de  en x.
Méthode
Pour déterminer la fonction dérivée de  :
  1. On calcule .
  2. On étudie vers quoi tend  lorsque  tend vers 0. C’est .
  3. On en déduit la fonction dérivée  :  en remplaçant   par  dans .
Exemple avec la fonction carrée  
Plaçons nous en un réel  quelconque et calculons le taux d'accroissement de f .

Pour h ≠ 0,

Pour tout réel  tend vers , ce qui prouve que la fonction est dérivable sur R et pour tout . On emploie plutôt la variable  pour l'expression d'une fonction, c'est pourquoi on écrira plutôt .
2. Dérivées des fonctions constantes, identité, carré et cube

De la même façon que dans le paragraphe 1b, on détermine l'expression des dérivées des fonctions usuelles suivantes :
 (où k est un réel)


On les consigne dans le tableau ci-dessous.

f(x)
définie pour
x appartenant à
f '(x)
définie pour
x appartenant à
k constante réelle 0
x 1
x2 2x
x3 3x2
3. Opérations et dérivées

Pour ce qui suit, on pose : soient  et  deux fonctions de , et  un réel fixé.

Remarque : il faudrait écrire  et . Les notations simplifiées  et  sont générales jusqu’au bac.
a. Dérive de la somme de deux fonctions
La dérivée de la somme de deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I est la somme des dérivées de ces deux fonctions.

Formule : .
Exemple
Soit  et  définies sur  par   et . Ces deux fonctions sont dérivables sur  et on a :  puisque  et .
b. Dérivée du produit d'une fonction par un réel
La dérivée du produit d'une fonction définie et dérivable sur un intervalle I par un réel fixé k est le produit de k et de la dérivée de la fonction.
Formule : .
Exemple
Soit , définie et dérivable sur . La fonction  est définie et dérivable sur  et on a :  puisque  et .
c. Application aux fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 3

Les propriétés précédentes permettent de calculer la dérivée de toute fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.

Exemple 
Donner la dérivée de la fonction , définie sur .

Soient les fonctions  et  définies et dérivables sur 
g est la somme des fonctions uv et wLa dérivée de g est donc égale à la somme des dérivées de u, v et w : .

Or, u et v sont chacune le produit d'une fonction par un réel. On applique la formule : .
On a donc : 

.

w est une constante, donc .

D'où : 

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