Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations sur les dérivées
- Définir une fonction dérivée.
- Connaitre les fonctions dérivées
de
(où k est un réel),
,
et
.
- Connaitre la dérivée d’une somme, la dérivée de kƒ (où k est un réel), la dérivée d’un polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
- La fonction dérivée
de
sur I, est la fonction notée
qui à tout
fait correspondre
, le nombre dérivé de
en x.
- Pour déterminer la fonction
dérivée de
:
- On calcule
.
- On étudie vers quoi tend
lorsque
tend vers 0. C’est
.
- On en déduit la fonction
dérivée
:
en remplaçant
par
dans
.
- On calcule
- Formules de la dérivée :
- d'une somme :
- du produit d'une fonction par un réel
:
.
- d'une somme :
- Pour connaitre la dérivée d'une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3, il suffit d'appliquer les propriétés précédentes sur la dérivée d'une somme et la dérivée du produit d'une fonction par un réel.
Nombre dérivé
Soit une fonction définie sur
un intervalle I. Soient
et
deux éléments
de I.





Autrement dit, plus



Lorsqu'il existe, ce réel L est noté



Si on pose , alors le taux de variation
s'écrit
. Comme
lorsque
est proche de
,
est proche de 0,
alors
est donc aussi le nombre dont
se rapproche
lorsque
se rapproche de 0.






- On calcule
.
- On étudie vers quoi tend
lorsque
tend vers 0. C’est
.
- On en déduit la fonction
dérivée
:
en remplaçant
par
dans
.

Plaçons nous en un réel

Pour h ≠ 0,

Pour tout réel








De la même façon que dans le paragraphe
1b, on détermine l'expression des
dérivées des fonctions usuelles suivantes
:
(où k est un réel)
On les consigne dans le tableau ci-dessous.
f(x) |
définie pour
x appartenant à
|
f '(x) |
définie pour
x appartenant à
|
k constante réelle |
![]() |
0 |
![]() |
x |
![]() |
1 |
![]() |
x2 |
![]() |
2x |
![]() |
x3 |
![]() |
3x2 |
![]() |
Pour ce qui suit, on pose : soient et
deux
fonctions de
, et
un
réel fixé.




Formule :

Soit










Soit







Les propriétés précédentes permettent de calculer la dérivée de toute fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
Donner la dérivée de la fonction


Soient les fonctions




g est la somme des fonctions u, v et w. La dérivée de g est donc égale à la somme des dérivées de u, v et w :

Or, u et v sont chacune le produit d'une fonction par un réel. On applique la formule :

On a donc :


w est une constante, donc

D'où :


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