Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations sur les dérivées

Soit  une fonction définie sur un intervalle I. Soient  et  deux éléments de I.

Dire que «  est dérivable en  » signifie qu'il existe un réel L vers lequel le taux de variation de  tend lorsque  tend vers .
Autrement dit, plus  est proche de , plus  est proche de L.
Lorsqu'il existe, ce réel L est noté  et s'appelle le nombre dérivé de  en .

Si on pose , alors le taux de variation s'écrit . Comme lorsque  est proche de , est proche de 0, alors  est donc aussi le nombre dont se rapproche lorsque  se rapproche de 0.

La fonction dérivée de  sur I, est la fonction notée  qui à tout  fait correspondre , le nombre dérivé de  en x.

Pour déterminer la fonction dérivée de  :

1. On calcule .
2. On étudie vers quoi tend  lorsque  tend vers 0. C’est .
3. On en déduit la fonction dérivée  :  en remplaçant   par  dans .

Exemple avec la fonction carrée  
Plaçons nous en un réel  quelconque et calculons le taux d'accroissement de f .

Pour h ≠ 0,

Pour tout réel ,  tend vers , ce qui prouve que la fonction est dérivable sur R et pour tout , . On emploie plutôt la variable  pour l'expression d'une fonction, c'est pourquoi on écrira plutôt .

Les propriétés précédentes permettent de calculer la dérivée de toute fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.

Exemple 
Donner la dérivée de la fonction , définie sur .

Soient les fonctions ,  et  définies et dérivables sur . 
g est la somme des fonctions u, v et w. La dérivée de g est donc égale à la somme des dérivées de u, v et w : .

Or, u et v sont chacune le produit d'une fonction par un réel. On applique la formule : .
On a donc : 

.

w est une constante, donc .

D'où :