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Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation

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Objectif

Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type , .

Points clés
  • Résoudre graphiquement l’équation f(x) = k, revient à trouver les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite horizontale d’équation y = k.
  • Résoudre graphiquement une inéquation du type f(x) < k, revient à déterminer les abscisses des points de la courbe situés au dessous de la droite horizontale d’équation y = k.
1. Résolution graphique d'une équation du type f(x) = k

Soient f une fonction définie sur un intervalle I, sa courbe représentative et k un réel.

Résoudre graphiquement l’équation f(x) = k, revient à trouver les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite horizontale d’équation y = k.

Exemples
Soit C la courbe bleue représentative d’une fonction f sur [–5 ; 5].

Les solutions de l’équation   f(x) = 3 sont obtenues en traçant la droite horizontale d’équation y = 3 et en lisant les abscisses des points d’intersection de celle-ci avec C.

Par lecture graphique, on obtient une unique solution à cette équation : 2.
 
Les solutions de l’équation f(x) = 4 sont obtenues en traçant la droite horizontale d’équation y = 4 et en lisant l’abscisse des ponts d’intersection de celle-ci avec C.

Par lecture graphique, on obtient  deux solutions pour cette équation : –1,5 et 3,5.


 
2. Résolution graphique d'une inéquation du type f(x) < k

Soient f une fonction définie sur un intervalle I, sa courbe représentative et k un réel.

Résoudre graphiquement une inéquation du type f(x) < k, revient à déterminer les abscisses des points de la courbe situés au dessous de la droite horizontale d’équation y = k.
Remarques 
f(x) > k déterminer les abscisses des points de Cf situés au dessus de la droite horizontale y = k.
f(x) ≤ k déterminer les abscisses des points de Cf situés sur et au dessous de la droite d’équation y = k.
f(x) ≥ k déterminer les abscisses des points de Cf situés sur et au dessus de la droite d’équation y = k.

Exemples 
Soit C la courbe bleue représentative d’une fonction f sur [–4 ; 4] :

Résolution de f(x) < 4
sur [–4 ; 4] :

On trace en rouge, la droite horizontale d’équation y = 4.
On lit graphiquement les abscisses des points de la courbe C situés en dessous de la droite rouge.

L’ensemble des solutions de cette inéquation est ]–1,5 ; 3,5[.
 
Résolution de f(x) ≥ 4
sur [–4 ; 4] :

On trace en rouge, la droite horizontale d’équation y = 4.
On lit graphiquement les abscisses des points de la courbe C situés sur et au dessus de la droite rouge. Comme l’inégalité est large, on prend le point d’intersection.

L’ensemble des solutions de cette inéquation est [1 ; 4].
 

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