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Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation

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Objectif

Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type , .

Points clés

Résoudre graphiquement l’équation f(x) = k, revient à trouver les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite horizontale d’équation y = k.
Résoudre graphiquement une inéquation du type f(x) < k, revient à déterminer les abscisses des points de la courbe situés au dessous de la droite horizontale d’équation y = k.

1. Résolution graphique d'une équation du type f(x) = k

Soient f une fonction définie sur un intervalle I, sa courbe représentative et k un réel.

Résoudre graphiquement l’équation f(x) = k, revient à trouver les abscisses des points d’intersection de la courbe

avec la droite horizontale d’équation y = k.

Exemples
Soit C la courbe bleue représentative d’une fonction f sur [–5 ; 5].

Les solutions de l’équation f(x) = 3 sont obtenues en traçant la droite horizontale d’équation y = 3 et en lisant les abscisses des points d’intersection de celle-ci avec C.

Par lecture graphique, on obtient une unique solution à cette équation : 2.

Les solutions de l’équation f(x) = 4 sont obtenues en traçant la droite horizontale d’équation y = 4 et en lisant l’abscisse des ponts d’intersection de celle-ci avec C.

Par lecture graphique, on obtient deux solutions pour cette équation : –1,5 et 3,5.

2. Résolution graphique d'une inéquation du type f(x) < k

Soient f une fonction définie sur un intervalle I, sa courbe représentative et k un réel.

Résoudre graphiquement une inéquation du type f(x) < k, revient à déterminer les abscisses des points de la courbe

situés au dessous de la droite horizontale d’équation y = k.

Remarques
f(x) > k

déterminer les abscisses des points de C_f situés au dessus de la droite horizontale y = k.
f(x) ≤ k

déterminer les abscisses des points de C_f situés sur et au dessous de la droite d’équation y = k.
f(x) ≥ k

déterminer les abscisses des points de C_f situés sur et au dessus de la droite d’équation y = k.

Exemples
Soit C la courbe bleue représentative d’une fonction f sur [–4 ; 4] :

Résolution de f(x) < 4 sur [–4 ; 4] : On trace en rouge, la droite horizontale d’équation y = 4. On lit graphiquement les abscisses des points de la courbe C situés en dessous de la droite rouge. L’ensemble des solutions de cette inéquation est ]–1,5 ; 3,5[.
Résolution de f(x) ≥ 4 sur [–4 ; 4] : On trace en rouge, la droite horizontale d’équation y = 4. On lit graphiquement les abscisses des points de la courbe C situés sur et au dessus de la droite rouge. Comme l’inégalité est large, on prend le point d’intersection. L’ensemble des solutions de cette inéquation est [1 ; 4].