Les polygones réguliers - Maxicours

Les polygones réguliers

Objectifs
  • Connaitre la définition d’un polygone régulier.  
  • Analyser et construire des polygones réguliers à l’aide d’un motif élémentaire et de transformations du plan.
  • Calculer des distances, des angles et des périmètres associés aux polygones réguliers.
Points clés
  • Un polygone est une figure géométrique du plan, constituée de segments reliés entre eux et formant un contour fermé.
    Chaque segment est un côté du polygone. Les intersections de segments sont les sommets du polygone.
    L’angle formé par deux segments consécutifs est un angle du polygone.
  • Un polygone est dit régulier, lorsque tous les côtés ont la même longueur et si tous ses angles ont la même mesure.
  • Soit n un entier supérieur ou égal à 3.
    Un polygone régulier à n côtés est inscriptible dans un cercle circonscrit au polygone, c'est-à-dire que tous les sommets sont sur le cercle.
    Le centre du cercle est appelé centre du polygone régulier.
Pour bien comprendre

Transformations du plan : symétrie axiale, symétrie centrale, rotation, translation

1. Polygones réguliers
a. Définition et vocabulaire
Un polygone est une figure géométrique du plan, constituée de segments reliés entre eux formant un contour fermé.
Chaque segment est un côté du polygone. Les intersections de segments sont les sommets du polygone.
L’angle formé par deux segments consécutifs est un angle du polygone.
Exemples
Un triangle est un polygone à 3 côtés.
Un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.
Un pentagone est un polygone à 5 côtés.

Un polygone est dit régulier lorsque tous les côtés ont la même longueur et tous les angles ont la même mesure.
Exemple
Dans le carré ABCD ci-dessous, tous les côtés ont la même longueur. De plus, tous les angles sont des angles droits.
Donc le carré ABCD est un polygone régulier à 4 côtés. 
b. Cercle circonscrit au polygone
Propriété
Soit n un entier supérieur ou égal à 3.
Un polygone régulier à n côtés est inscriptible dans un cercle circonscrit au polygone, c'est-à-dire que tous les sommets sont sur le cercle.
Le centre du cercle est appelé centre du polygone régulier.
Exemple
Dans le carré ci-dessous, les diagonales [AC] et [BD] ont la même longueur et se coupent en leur milieu O.
Les points A, B, C et D sont donc équidistants de O.
Ces 4 points sont sur le cercle de centre O passant par A.
Ainsi, O est le centre du carré.
2. Construction des polygones réguliers
a. Propriétés
Propriété
Soient A et B deux sommets consécutifs d’un polygone régulier à n côtés et de centre O.
L’angle mesure . Cet angle est appelé angle au centre.
Exemple
Soient A et B deux sommets consécutifs d’un pentagone régulier de centre O.
On a : .
Propriété
Soit n un entier supérieur ou égal à 3.
Un polygone régulier à n côtés est la juxtaposition de n triangles isocèles de sommet O, le centre du polygone régulier, et d’angle au centre .
Ainsi, deux sommets consécutifs s’obtiennent par une rotation de centre O et d’angle .
b. Méthode et exemple
Méthode pour tracer un polygone régulier

On souhaite construire un polygone régulier en connaissant uniquement le centre du polygone O et un sommet A.
D’après les propriétés précédentes, on peut opérer par étapes :

  1. d’abord, tracer le cercle de centre O passant par A ;
  2. puis, placer un point B sur le cercle de telle sorte que l’angle  soit égal à  ;
  3. répéter ce processus pour tous les autres points ;
  4. relier les sommets ainsi trouvés par des segments.
Exemple
Soit O le centre d’un hexagone régulier et A un sommet, tel que OA = 4 cm.
Construire l’hexagone.
  1. On commence par tracer le segment [OA] de 4 cm. Puis, on trace le cercle de centre O passant par A.
  2. On détermine l’angle au centre  : . On construit un angle de 60°. On place le point B, image de A par une rotation de centre O, d’angle 60° dans le sens direct.
  3. On poursuit la construction des autres points.
  4. On relie tous les sommets par des segments.
Remarque
Dans le cas d’un polygone régulier dont le nombre de côtés est pair, on peut aussi utiliser des symétries.
Exemple
En utilisant des symétries ou des translations, et sans utiliser de cercle circonscrit, construire un hexagone régulier d’angle au sommet O, à partir d’un triangle équilatéral OAB.
  • Uniquement avec deux symétries axiales
    L’image de B par la symétrie d’axe (OA) permet l’obtention de F, puis l’image de A par la symétrie d’axe (OB) permet l’obtention de C.
    L’image de C par la symétrie d’axe (OA) donne E, puis celle de F par la symétrie d’axe (OB) donne D.
  • Avec une symétrie centrale et deux translations
    L’image de A par la symétrie de centre O est D et celle de B est E.
    L’image de D par la translation de vecteur  est C et celle de A par la translation de vecteur est F.

3. Calculs de grandeurs dans des polygones réguliers
a. Calcul du périmètre à partir de la longueur d'un côté

On donne la longueur c d’un côté et le nombre n de sommets (ou côtés) du polygone. On cherche à calculer son périmètre p.

Propriété
p = nc
b. Calculs de longueurs à partir du cercle circonscrit

On donne le centre O du cercle circonscrit, son rayon r et le nombre n de côtés du polygone.
On cherche à calculer la longueur c d’un côté et le périmètre p du polygone.

Propriétés

Comme p = nc, on a :
c. Calcul d'un angle à partir de la longueur d'un côté
Propriété
L’angle au sommet formé par deux côtés consécutifs d’un polygone régulier à n côtés est :.

Conséquence
La somme des angles d’un polygone régulier à n côtés est :.

Remarque
Lorsque n = 3, on retrouve que la somme des angles d’un triangle vaut 180°.

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