Les polygones réguliers
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre la définition d’un polygone régulier.
- Analyser et construire des polygones réguliers à l’aide d’un motif élémentaire et de transformations du plan.
- Calculer des distances, des angles et des périmètres associés aux polygones réguliers.
- Un polygone est une figure géométrique du
plan, constituée de segments reliés entre eux
et formant un contour fermé.
Chaque segment est un côté du polygone. Les intersections de segments sont les sommets du polygone.
L’angle formé par deux segments consécutifs est un angle du polygone. - Un polygone est dit régulier, lorsque tous les côtés ont la même longueur et si tous ses angles ont la même mesure.
- Soit n un
entier supérieur ou égal à 3.
Un polygone régulier à n côtés est inscriptible dans un cercle circonscrit au polygone, c'est-à-dire que tous les sommets sont sur le cercle.
Le centre du cercle est appelé centre du polygone régulier.
Transformations du plan : symétrie axiale, symétrie centrale, rotation, translation
Chaque segment est un côté du polygone. Les intersections de segments sont les sommets du polygone.
L’angle formé par deux segments consécutifs est un angle du polygone.
Un triangle est un polygone à 3 côtés.
Un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.
Un pentagone est un polygone à 5 côtés.
Dans le carré ABCD ci-dessous, tous les côtés ont la même longueur. De plus, tous les angles sont des angles droits.
Donc le carré ABCD est un polygone régulier à 4 côtés.
Soit n un entier supérieur ou égal à 3.
Un polygone régulier à n côtés est inscriptible dans un cercle circonscrit au polygone, c'est-à-dire que tous les sommets sont sur le cercle.
Le centre du cercle est appelé centre du polygone régulier.
Dans le carré ci-dessous, les diagonales [AC] et [BD] ont la même longueur et se coupent en leur milieu O.
Les points A, B, C et D sont donc équidistants de O.
Ces 4 points sont sur le cercle de centre O passant par A.
Ainsi, O est le centre du carré.
Soient A et B deux sommets consécutifs d’un polygone régulier à n côtés et de centre O.
L’angle
mesure 
. Cet angle est appelé
angle au centre.
Soient A et B deux sommets consécutifs d’un pentagone régulier de centre O.
On a :
.
Soit n un entier supérieur ou égal à 3.
Un polygone régulier à n côtés est la juxtaposition de n triangles isocèles de sommet O, le centre du polygone régulier, et d’angle au centre
.Ainsi, deux sommets consécutifs s’obtiennent par une rotation de centre O et d’angle
.
On souhaite construire un polygone régulier en
connaissant uniquement le centre du
polygone O et
un sommet A.
D’après les propriétés
précédentes, on peut opérer par
étapes :
- d’abord, tracer le cercle de centre O passant par A ;
- puis, placer un point B sur le cercle de telle sorte
que l’angle
soit égal
à ;
- répéter ce processus pour tous les autres points ;
- relier les sommets ainsi trouvés par des segments.
Soit O le centre d’un hexagone régulier et A un sommet, tel que OA = 4 cm.
Construire l’hexagone.
- On commence par tracer le segment [OA] de 4 cm. Puis, on trace le cercle de centre O passant par A.
- On détermine l’angle au
centre :
. On construit un
angle de 60°. On place le
point B,
image de A
par une rotation de centre O,
d’angle 60° dans le sens direct.
- On poursuit la construction des autres points.
- On relie tous les sommets par des segments.
Dans le cas d’un polygone régulier dont le nombre de côtés est pair, on peut aussi utiliser des symétries.
En utilisant des symétries ou des translations, et sans utiliser de cercle circonscrit, construire un hexagone régulier d’angle au sommet O, à partir d’un triangle équilatéral OAB.
-
Uniquement avec deux symétries
axiales
L’image de B par la symétrie d’axe (OA) permet l’obtention de F, puis l’image de A par la symétrie d’axe (OB) permet l’obtention de C.
L’image de C par la symétrie d’axe (OA) donne E, puis celle de F par la symétrie d’axe (OB) donne D. -
Avec une symétrie centrale et deux
translations
L’image de A par la symétrie de centre O est D et celle de B est E.
L’image de D par la translation de vecteur
est C et
celle de A
par la translation de vecteur 
est F.
On donne la longueur c d’un côté et le nombre n de sommets (ou côtés) du polygone. On cherche à calculer son périmètre p.
p = nc
On donne le centre O du cercle circonscrit, son
rayon r
et le nombre n de côtés du
polygone.
On cherche à calculer la
longueur c d’un
côté et le
périmètre p du polygone.
Comme p = nc, on a :
L’angle au sommet formé par deux côtés consécutifs d’un polygone régulier à n côtés est :
.
Conséquence
La somme des angles d’un polygone régulier
à n côtés
est :
.
Lorsque n = 3, on retrouve que la somme des angles d’un triangle vaut 180°.
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