Variations et extrémums d'une fonction
- Fiche de cours
- Quiz
- Profs en ligne
- Videos
- Application mobile
Objectif
- Dresser le tableau de variation d’une fonction à partir de sa courbe représentative.
- Déterminer graphiquement les extrémums d’une fonction sur un intervalle.
Points clés
- est croissante sur un intervalle signifie que pour tout et de , si , alors .
- est décroissante sur un intervalle signifie que pour tout et de , si , alors .
- est constante sur un intervalle signifie que pour tout et de , on a .
- Pour résumer les variations d’une fonction sur son domaine de définition, on dresse un tableau de variation. Une flèche montante indique la croissance et une flèche descendante indique la décroissance.
- Le maximum de sur est la plus grande valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
- Le minimum de sur est la plus petite valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
- Un extrémum est un maximum ou un minimum.
Pour bien comprendre
- Ensemble de définition d’une fonction
- Courbe représentative d’une fonction
1. Sens de variation d'une fonction
a. Défintions
Soit un intervalle et une fonction définie sur .
est croissante sur un
intervalle signifie que pour tout
et de , si , alors .
Exemple
La fonction représentée ci-dessous est strictement croissante sur l’intervalle .
La fonction représentée ci-dessous est strictement croissante sur l’intervalle .
est décroissante sur
un intervalle signifie que pour tout
et de , si , alors .
Exemple
La fonction représentée ci-dessous est strictement décroissante sur l’intervalle .
La fonction représentée ci-dessous est strictement décroissante sur l’intervalle .
Remarque
De manière générale, on dit qu’une fonction est monotone sur un intervalle lorsqu’elle est croissante ou décroissante sur l’intervalle .
De manière générale, on dit qu’une fonction est monotone sur un intervalle lorsqu’elle est croissante ou décroissante sur l’intervalle .
est constante sur un
intervalle signifie que pour tout
et de , on a .
Exemple
La fonction représentée ci-dessous est constante sur l’intervalle .
La fonction représentée ci-dessous est constante sur l’intervalle .
b. Tableau de variation
Pour résumer les variations d’une fonction sur son domaine de définition, on dresse un tableau de variation.
Une flèche montante indique la croissance et une
flèche descendante indique la
décroissance.
Exemple
Voici la représentation graphique d’une fonction définie sur l’intervalle , elle est décroissante sur et croissante sur . De plus, la courbe passe par les points de coordonnées , et .
Voici la représentation graphique d’une fonction définie sur l’intervalle , elle est décroissante sur et croissante sur . De plus, la courbe passe par les points de coordonnées , et .
On a donc le tableau de variation suivant :
2. Extrémums d'une fonction f sur un intervalle
Soit une fonction définie sur un intervalle .
- Le maximum de sur est la plus grande valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
- Le minimum de sur est la plus petite valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
- Un extrémum est un maximum ou un minimum.
Remarque
Lorsqu’on parle de minimum ou de maximum, on doit toujours préciser sur quel intervalle on travaille.
Lorsqu’on parle de minimum ou de maximum, on doit toujours préciser sur quel intervalle on travaille.
Exemple 1
Voici la représentation graphique d'une fonction :
Voici la représentation graphique d'une fonction :
Sur l'intervalle :
- le minimum de est 1, atteint pour ;
- le maximum de est 5, atteint pour .
- le minimum de est 2, atteint pour ;
- le maximum de est 5, atteint pour .
Exemple 2
Voici le tableau de variation d'une fonction :
Voici le tableau de variation d'une fonction :
Sur l'intervalle , le maximum de est 2, atteint pour , et le minimum est –2, atteint pour .
Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !