Fiche de cours

Dérivée, sens de variation et extrema d'une fonction- Première techno - Mathématiques

Lycée   >   Premiere techno   >   Mathématiques   >   Dérivée, sens de variation et extrema d'une fonction- Première techno - Mathématiques

  • Fiche de cours
  • Quiz et exercices
  • Vidéos et podcasts
Objectif

Déterminer le sens de variation et les extrema d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.  

Points clés

Pour dresser le tableau de variations d'une fonction, il faut calculer la dérivée, étudier le signe de celle-ci, et compléter les valeurs aux extrémités de chacune des flèches placées.

Pour bien comprendre
  • Notion d'extremum
  • Fonction dérivée
  • Tableau de signe d'une fonction
1. Dérivée d'une fonction et variations de cette fonction
Pour une fonction f dérivable sur un intervalle I, on a les théorèmes suivants :
  • si f ’ est positive sur I la fonction f est croissante sur I.
  • si f ’ est négative sur I la fonction f est décroissante sur I.
Remarques
  • Pour le vocabulaire mathématique, « positive » signifie « positive ou nulle » (et « négative » veut dire « négative ou nulle »). Dans le cas d’une inégalité stricte, on précisera que la dérivée est « strictement positive/négative » et que f est « strictement croissante/décroissante ».
  • Si la dérivée est nulle sur tout l’intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle.

Si une fonction conserve le même sens de variation sur tout un intervalle (croissante ou décroissante), on dit que cette fonction est monotone.

Exemple
La fonction est définie sur . Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0). Cette fonction est donc croissante sur son domaine de définition. Elle est monotone.
2. Tableau de variations d'une fonction

Il est commode de regrouper toutes les indications obtenues sur la fonction dans un tableau appelé tableau de variations de la fonction.

Exemple
Soit définie sur .
Calculer sa dérivée, en chercher le signe, puis donner les variations de cette fonction sous forme de tableau.
  • Calcul de la dérivée :
  • Signe de la dérivée : la dérivée s’annule pour x = -2 ou x = 2.
    On fait alors un tableau de signe qui indique que la dérivée est positive sur ]-∞ ; -2],
    négative sur ]-2 ; 2[ et positive sur [2 ; +∞[.
  • Variations de la fonction : on calcule les valeurs de la fonction pour les valeurs du tableau de signe (pour -2 et 2) : f(-2) = 17 et f(2) = -15.
  • Tableau des variations de f (dans lequel on fait figurer tous les éléments que l'on vient de déterminer) :
Remarque : les valeurs en -∞ et +∞ ne sont pas au programme des classes de premières (cours de terminale sur les limites).
Enfin, on peut utiliser une calculatrice (c’est conseillé !) pour tracer la courbe représentative de la fonction et vérifier que le tableau de variations est correct.
3. Extremum d'une fonction
On appelle extremum d'une fonction un maximum ou un minimum de la fonction étudiée.
Exemples
Pour la fonction précédente  définie sur , on a un maximum (local) pour x = -2 qui est 17 et un minimum (local) pour x = 2 qui est -15.
Remarque : le pluriel de « extremum » est « extrema ».

Évalue ce cours !

 

Note 3.3 / 5. Nombre de vote(s) : 8

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

 

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

 

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

 

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

 

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT

Fiches de cours les plus recherchées

Mathématiques

L'équation réduite d'une droite- Première- Mathématiques

Mathématiques

Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation- Première- Mathématiques

Mathématiques

Variations et extrémums d'une fonction- Première- Mathématiques

Mathématiques

Les polygones réguliers

Mathématiques

Les cylindres de révolution

Mathématiques

Les indices en base 100- Première- Mathématiques

Mathématiques

Les représentations graphiques d'une série statistique- Première- Mathématiques

Mathématiques

Les probabilités conditionnelles

Mathématiques

Repérage et distances dans l'espace

Mathématiques

Les listes en algorithmique