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Dérivée, sens de variation et extrema d'une fonction

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Objectif

Déterminer le sens de variation et les extrema d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.  

Points clés

Pour dresser le tableau de variations d'une fonction, il faut calculer la dérivée, étudier le signe de celle-ci, et compléter les valeurs aux extrémités de chacune des flèches placées.

Pour bien comprendre
  • Notion d'extremum
  • Fonction dérivée
  • Tableau de signe d'une fonction
1. Dérivée d'une fonction et variations de cette fonction
Pour une fonction f dérivable sur un intervalle I, on a les théorèmes suivants :
  • si f ’ est positive sur I la fonction f est croissante sur I.
  • si f ’ est négative sur I la fonction f est décroissante sur I.
Remarques
  • Pour le vocabulaire mathématique, « positive » signifie « positive ou nulle » (et « négative » veut dire « négative ou nulle »). Dans le cas d’une inégalité stricte, on précisera que la dérivée est « strictement positive/négative » et que f est « strictement croissante/décroissante ».
  • Si la dérivée est nulle sur tout l’intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle.

Si une fonction conserve le même sens de variation sur tout un intervalle (croissante ou décroissante), on dit que cette fonction est monotone.

Exemple
La fonction est définie sur . Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0). Cette fonction est donc croissante sur son domaine de définition. Elle est monotone.
2. Tableau de variations d'une fonction

Il est commode de regrouper toutes les indications obtenues sur la fonction dans un tableau appelé tableau de variations de la fonction.

Exemple
Soit définie sur .
Calculer sa dérivée, en chercher le signe, puis donner les variations de cette fonction sous forme de tableau.
  • Calcul de la dérivée :
  • Signe de la dérivée : la dérivée s’annule pour x = -2 ou x = 2.
    On fait alors un tableau de signe qui indique que la dérivée est positive sur ]-∞ ; -2],
    négative sur ]-2 ; 2[ et positive sur [2 ; +∞[.
  • Variations de la fonction : on calcule les valeurs de la fonction pour les valeurs du tableau de signe (pour -2 et 2) : f(-2) = 17 et f(2) = -15.
  • Tableau des variations de f (dans lequel on fait figurer tous les éléments que l'on vient de déterminer) :
Remarque : les valeurs en -∞ et +∞ ne sont pas au programme des classes de premières (cours de terminale sur les limites).
Enfin, on peut utiliser une calculatrice (c’est conseillé !) pour tracer la courbe représentative de la fonction et vérifier que le tableau de variations est correct.
3. Extremum d'une fonction
On appelle extremum d'une fonction un maximum ou un minimum de la fonction étudiée.
Exemples
Pour la fonction précédente  définie sur , on a un maximum (local) pour x = -2 qui est 17 et un minimum (local) pour x = 2 qui est -15.
Remarque : le pluriel de « extremum » est « extrema ».

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