Lycée   >   Premiere techno   >   Mathématiques   >   Dérivée, sens de variation et extrema d'une fonction- Première techno - Mathématiques

Dérivée, sens de variation et extrema d'une fonction

  • Fiche de cours
  • Quiz
  • Profs en ligne
Objectif

Déterminer le sens de variation et les extrema d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.  

Points clés

Pour dresser le tableau de variations d'une fonction, il faut calculer la dérivée, étudier le signe de celle-ci, et compléter les valeurs aux extrémités de chacune des flèches placées.

Pour bien comprendre
  • Notion d'extremum
  • Fonction dérivée
  • Tableau de signe d'une fonction
1. Dérivée d'une fonction et variations de cette fonction
Pour une fonction f dérivable sur un intervalle I, on a les théorèmes suivants :
  • si f ’ est positive sur I la fonction f est croissante sur I.
  • si f ’ est négative sur I la fonction f est décroissante sur I.
Remarques
  • Pour le vocabulaire mathématique, « positive » signifie « positive ou nulle » (et « négative » veut dire « négative ou nulle »). Dans le cas d’une inégalité stricte, on précisera que la dérivée est « strictement positive/négative » et que f est « strictement croissante/décroissante ».
  • Si la dérivée est nulle sur tout l’intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle.

Si une fonction conserve le même sens de variation sur tout un intervalle (croissante ou décroissante), on dit que cette fonction est monotone.

Exemple
La fonction est définie sur . Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0). Cette fonction est donc croissante sur son domaine de définition. Elle est monotone.
2. Tableau de variations d'une fonction

Il est commode de regrouper toutes les indications obtenues sur la fonction dans un tableau appelé tableau de variations de la fonction.

Exemple
Soit définie sur .
Calculer sa dérivée, en chercher le signe, puis donner les variations de cette fonction sous forme de tableau.
  • Calcul de la dérivée :
  • Signe de la dérivée : la dérivée s’annule pour = -2 ou x = 2.
    On fait alors un tableau de signe qui indique que la dérivée est positive sur ]-∞ ; -2],
    négative sur ]-2 ; 2[ et positive sur [2 ; +∞[.
  • Variations de la fonction : on calcule les valeurs de la fonction pour les valeurs du tableau de signe (pour -2 et 2) : f(-2) = 17 et f(2) = -15.
  • Tableau des variations de f (dans lequel on fait figurer tous les éléments que l'on vient de déterminer) :
Remarque : les valeurs en -∞ et +∞ ne sont pas au programme des classes de premières (cours de terminale sur les limites).
Enfin, on peut utiliser une calculatrice (c’est conseillé !) pour tracer la courbe représentative de la fonction et vérifier que le tableau de variations est correct.
3. Extremum d'une fonction
On appelle extremum d'une fonction un maximum ou un minimum de la fonction étudiée.
Exemples
Pour la fonction précédente  définie sur , on a un maximum (local) pour x = -2 qui est 17 et un minimum (local) pour x = 2 qui est -15.
Remarque : le pluriel de « extremum » est « extrema ».

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !

Reçois l’intégralité des bonnes réponses ainsi que les rappels de cours associés

Une erreur s'est produite, veuillez ré-essayer

Consultez votre boite email, vous y trouverez vos résultats de quiz!

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Le service propose une plateforme de contenus interactifs, ludiques et variés pour les élèves du CP à la Terminale. Nous proposons des univers adaptés aux tranches d'âge afin de favoriser la concentration, encourager et motiver quel que soit le niveau. Nous souhaitons que chacun se sente bien pour apprendre et progresser en toute sérénité ! 

Fiches de cours les plus recherchées

Mathématiques

L'équation réduite d'une droite- Première- Mathématiques

Mathématiques

Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation- Première- Mathématiques

Mathématiques

Variations et extrémums d'une fonction- Première- Mathématiques

Mathématiques

Les polygones réguliers

Mathématiques

Les cylindres de révolution

Mathématiques

Les indices en base 100- Première- Mathématiques

Mathématiques

Les représentations graphiques d'une série statistique- Première- Mathématiques

Mathématiques

Les probabilités conditionnelles

Mathématiques

Repérage et distances dans l'espace

Mathématiques

Les listes en algorithmique