L'équation réduite d'une droite
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- Reconnaitre l’équation réduite d’une droite.
- Déterminer le coefficient directeur d’une droite donnée par une équation ou par une représentation graphique.
- Lire graphiquement l'équation réduite d'une droite.
- Déterminer l'équation réduite d'une droite à partir de deux de ses points.
- Tracer une droite donnée par son équation réduite ou par un point et son coefficient directeur.
- L’équation réduite d’une
droite est de la forme :
- y = mx+ p, où m et p sont des nombres réels (m ≠ 0), si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées ;
- x = c, où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées ;
- y = p, où p est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des abscisses.
- Toute droite du plan non parallèle à l’axe des ordonnées admet une unique équation réduite de la forme y = mx + p.
-
m est la pente
de la droite ; on dit aussi que m est le coefficient
directeur de la droite.
p est l’ordonnée à l’origine de la droite. Cela signifie que la droite passe par le point de coordonnées (0 ; p). - Le coefficient directeur d’une droite qui passe par deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) est : .
- Pour tracer une droite dont on connait l’équation réduite, on peut utiliser une méthode à partir de deux points de la droite.
- Pour tracer une droite dont on connait l’équation réduite, on peut utiliser une méthode à partir d'un point de la droite et du coefficient directeur.
- Fonction affine
- Lire les coordonnées d’un point sur un graphique
- Résoudre une équation du premier degré
Toutes les droites du plan sont caractérisées
par leur équation, qui peut s’écrire de
deux façons différentes : on parle
d’équation réduite ou
d’équation cartésienne d’une
droite. Dans cette fiche, on étudie plus
particulièrement les équations réduites
de droites.
On considère le plan muni d’un repère
orthonormé .
- y = mx+ p, où m et p sont des nombres réels (m ≠ 0), si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées ;
- x = c, où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées ;
- y = p, où p est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des abscisses.
y = 3x + 2 est l’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
x = 3 est l’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
y = –3 est l’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Toute droite du plan non parallèle à l’axe des ordonnées admet une unique équation réduite de la forme y = mx + p, et est la représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = mx + p.
p est l’ordonnée à l’origine de la droite. Cela signifie que la droite passe par le point de coordonnées (0 ; p).
y = 3x + 2 est la droite de coefficient directeur 3.
L’ordonnée à l’origine est 2. La droite passe donc par le point de coordonnées (0 ; 2).
On sait que l’équation réduite d’une droite (d) est de la forme y = mx + p. Pour déterminer cette équation réduite, il faut donc trouver par lecture graphique la valeur des coefficients m et p.
On considère la droite (d)
représentée ci-dessus. Pour
déterminer graphiquement son équation
réduite de la forme y = mx + p :
- choisir sur le graphique deux points A et B appartenant à la droite (d) et dont les coordonnées sont faciles à lire (on choisit si possible des points dont les abscisses ou les ordonnées « tombent rond »). Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) ces coordonnées ;
- déterminer le coefficient directeur m, en appliquant la relation suivante : ;
- déterminer l’ordonnée à l’origine p. Pour cela, il suffit de lire sur le graphique l’ordonnée du point d’intersection de (d) avec l’axe des ordonnées.
Déterminer l’équation réduite de la droite (d1) suivante.
On sait que l’équation réduite d’une droite est de la forme y = mx + p.
- Sur le graphique, on choisit deux points appartenant à (d1) et dont les coordonnées sont faciles à lire : par exemple, les points A(2 ; –3) et B(–1 ; 3).
- On calcule la valeur du coefficient directeur directeur m à partir des coordonnées des points A et B : .
- On lit sur le graphique la valeur de
l’ordonnée à l’origine
p
(c’est l’intersection entre la droite
et l’axe des ordonnées). On trouve
p
= 1.
L’équation de la droite (d1) est donc : y = –2x + 1.
Déterminer l’équation réduite de la droite (d2) suivante.
On sait que l’équation réduite d’une droite est de la forme y = mx + p.
- Sur le graphique, on choisit deux points appartenant à (d2) et dont les coordonnées sont faciles à lire : par exemple, les points A(3 ; 1) et B(–1 ; –3).
- On calcule la valeur du coefficient directeur directeur m à partir des coordonnées des points A et B : .
- On lit sur le graphique la valeur de
l’ordonnée à l’origine
p
(c’est l’intersection entre la droite
et l’axe des ordonnées). On trouve
p
= –2.
L’équation de la droite (d2) est donc : y = x – 2.
Il n’est pas toujours simple de lire l’ordonnée à l’origine sur un graphique, aussi on préfère souvent à la méthode graphique la méthode calculatoire suivante.
Soient A(xA ;
yA) et B(xB ;
yB) deux points d’une
droite (d)
dont on cherche l’équation
réduite.
L’équation cherchée est de la forme
y
= mx +
p. Il faut
donc calculer la valeur des coefficients
m et
p à
partir des coordonnées des points A et B.
Pour déterminer l’équation réduite de la forme y = mx + p d’une droite (d) à partir des coordonnées de deux points A et B appartenant à (d) :
- calculer la valeur du coefficient directeur m à partir de la relation ;
- calculer la valeur de l’ordonnée à l’origine p en utilisant les coordonnées du point A ou B. Par exemple, avec le point A : ce point appartient à la droite, ses coordonnées vérifient donc l’équation y = mx + p. D’où l’obtention de p par la résolution d’une équation.
Déterminer l’équation réduite de la droite (d3) passant par les points
A(2 ; –3) et B(–1 ; 3).
Cette équation réduite est de la forme y = mx + p.
- On calcule la valeur de m : .
- On calcule la valeur de l’ordonnée
à l’origine p, à partir des
coordonnées du point A(2 ;-3).
Comme A appartient à (d3), il vérifie l’équation y = –2x + p.
Donc .
L’équation réduite de la droite (d3) est donc y = –2x + 1.
Déterminer l’équation réduite de la droite (d4) passant par les points A(3 ; 1) et B(–1; –3).
Cette équation réduite est de la forme y = mx + p.
- On calcule la valeur de m : .
- On calcule la valeur de l’ordonnée
à l’origine p, à partir des
coordonnées du point A(3 ; 1).
Comme A appartient à (d4), il vérifie l’équation y = 1x + p.
Donc .
L’équation réduite de la droite (d4) est donc y = x – 2.
- choisir de manière arbitraire deux valeurs de x et calculer, à l’aide de l’équation réduite, les valeurs correspondantes de y ;
- placer alors les deux points obtenus dans le repère ;
- relier les deux points pour obtenir la droite souhaitée.
À la première étape de la méthode, il est souvent plus facile de choisir 0 et 1 comme valeurs de x. Ces valeurs simplifient les calculs.
Dans le repère , tracer la droite (d1) d’équation y = 2x + 1.
- On choisit arbitrairement deux
valeurs de x, par exemple
0 et 1. On calcule les valeurs
de y
correspondantes.
Pour x = 0, on a : y = 2 × 0 + 1 = 1. (d1) passe donc par le point A(0 ; 1).
Pour x = 1, on a : y = 2 × 1 + 1 = 3. (d1) passe donc par le point B(1 ; 3). - On place ces deux points dans le repère.
- On trace la droite qui relie les deux points.
On obtient la représentation graphique
de (d1) :
Parfois, la recherche des coordonnées de deux points de la droite se présente sous la forme d’un tableau. Pour l’exemple précédent, on aurait pu présenter la démarche sous la forme suivante :
x | 0 | 1 |
y | 2 × 0 + 1 = 1 | 2 × 1 + 1 = 3 |
- placer le point A dans le repère ;
- à l’aide du déplacement que représente le coefficient directeur, placer un second point de la droite à partir du point A ;
- relier les deux points pour obtenir la droite souhaitée.
Dans le repère , tracer la droite (d2) sachant que le point A(0 ; 3) appartient à (d2) et que le coefficient directeur de la droite vaut .
- On place le point A(0 ; 3) dans le repère.
- Le coefficient directeur de la droite vaut . Donc en partant de A, il faut faire un déplacement de +3 horizontalement et de +5 verticalement. On place ainsi un second point B dans le repère.
- On trace la droite qui relie les deux points.
On obtient la représentation graphique
de (d2) :
Une pente a donnée en écriture décimale correspond à un déplacement de 1 horizontalement pour a verticalement.
Une droite d’équation x = c (c ) est parallèle à l’axe des ordonnées et passe par le point A(c ; 0).
- Voici la représentation graphique de la
droite d'équation x = 3 :
- Et celle de la droite
d'équation x = –1 :
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