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L'équation réduite d'une droite- Première- Mathématiques

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Objectifs
  • Reconnaitre l’équation réduite d’une droite.
  • Déterminer le coefficient directeur d’une droite donnée par une équation ou par une représentation graphique.
  • Lire graphiquement l'équation réduite d'une droite.
  • Déterminer l'équation réduite d'une droite à partir de deux de ses points.
  • Tracer une droite donnée par son équation réduite ou par un point et son coefficient directeur.
Points clés
  • L’équation réduite d’une droite est de la forme :
    • y = mx+ p, où m et p sont des nombres réels (m ≠ 0), si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées ;
    • x = c, où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées ;
    • y = p, où p est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des abscisses.
  • Toute droite du plan non parallèle à l’axe des ordonnées admet une unique équation réduite de la forme y = mx + p.
  • m est la pente de la droite ; on dit aussi que m est le coefficient directeur de la droite.
    p est l’ordonnée à l’origine de la droite. Cela signifie que la droite passe par le point de coordonnées (0 ; p).
  • Le coefficient directeur d’une droite qui passe par deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) est : .
  • Pour tracer une droite dont on connait l’équation réduite, on peut utiliser une méthode à partir de deux points de la droite.
  • Pour tracer une droite dont on connait l’équation réduite, on peut utiliser une méthode à partir d'un point de la droite et du coefficient directeur.
Pour bien comprendre
  • Fonction affine
  • Lire les coordonnées d’un point sur un graphique
  • Résoudre une équation du premier degré

Toutes les droites du plan sont caractérisées par leur équation, qui peut s’écrire de deux façons différentes : on parle d’équation réduite ou d’équation cartésienne d’une droite. Dans cette fiche, on étudie plus particulièrement les équations réduites de droites.
On considère le plan muni d’un repère orthonormé .

1. Équation réduite d'une droite, pente et ordonnée à l'origine
a. Équation réduite d'une droite
L’équation réduite d’une droite est de la forme :
  • y = mx+ p, où m et p sont des nombres réels (m ≠ 0), si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées ;
  • x = c, où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées ;
  • y = p, où p est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des abscisses.
Exemples
y = 3x + 2 est l’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
x = 3 est l’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
y = –3 est l’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Remarque
Toute droite du plan non parallèle à l’axe des ordonnées admet une unique équation réduite de la forme y = mx + p, et est la représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = mx + p.
b. Pente et ordonnée à l'origine
m est la pente de la droite ; on dit aussi que m est le coefficient directeur de la droite.
p est l’ordonnée à l’origine de la droite. Cela signifie que la droite passe par le point de coordonnées (0 ; p).
Exemple
y = 3x + 2 est la droite de coefficient directeur 3.
L’ordonnée à l’origine est 2. La droite passe donc par le point de coordonnées (0 ; 2).
2. Détermination de l'équation réduite d'une droite
a. Par lecture graphique

On sait que l’équation réduite d’une droite (d) est de la forme y = mx + p. Pour déterminer cette équation réduite, il faut donc trouver par lecture graphique la valeur des coefficients m et p.

Méthode


On considère la droite (d) représentée ci-dessus. Pour déterminer graphiquement son équation réduite de la forme y = mx + p :

  1. choisir sur le graphique deux points A et B appartenant à la droite (d) et dont les coordonnées sont faciles à lire (on choisit si possible des points dont les abscisses ou les ordonnées « tombent rond »). Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) ces coordonnées ;
  2. déterminer le coefficient directeur m, en appliquant la relation suivante : ;
  3. déterminer l’ordonnée à l’origine p. Pour cela, il suffit de lire sur le graphique l’ordonnée du point d’intersection de (d) avec l’axe des ordonnées.
Exemple 1
Déterminer l’équation réduite de la droite (d1) suivante.

On sait que l’équation réduite d’une droite est de la forme y = mx + p.
  1. Sur le graphique, on choisit deux points appartenant à (d1) et dont les coordonnées sont faciles à lire : par exemple, les points A(2 ; –3) et B(–1 ; 3).
  2. On calcule la valeur du coefficient directeur directeur m à partir des coordonnées des points A et B : .
  3. On lit sur le graphique la valeur de l’ordonnée à l’origine p (c’est l’intersection entre la droite et l’axe des ordonnées). On trouve p = 1.
    L’équation de la droite (d1) est donc : y = –2x + 1.
Exemple 2
Déterminer l’équation réduite de la droite (d2) suivante.

On sait que l’équation réduite d’une droite est de la forme y = mx + p.
  1. Sur le graphique, on choisit deux points appartenant à (d2) et dont les coordonnées sont faciles à lire : par exemple, les points A(3 ; 1) et B(–1 ; –3).
  2. On calcule la valeur du coefficient directeur directeur m à partir des coordonnées des points A et B : .
  3. On lit sur le graphique la valeur de l’ordonnée à l’origine p (c’est l’intersection entre la droite et l’axe des ordonnées). On trouve p = –2.
    L’équation de la droite (d2) est donc : y = x – 2.
Remarque
Il n’est pas toujours simple de lire l’ordonnée à l’origine sur un graphique, aussi on préfère souvent à la méthode graphique la méthode calculatoire suivante.
b. À partir des coordonnées de deux points

Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points d’une droite (d) dont on cherche l’équation réduite.
L’équation cherchée est de la forme y = mx + p. Il faut donc calculer la valeur des coefficients m et p à partir des coordonnées des points A et B.

Méthode

Pour déterminer l’équation réduite de la forme y = mx + p d’une droite (d) à partir des coordonnées de deux points A et B appartenant à (d) :

  1. calculer la valeur du coefficient directeur m à partir de la relation ;
  2. calculer la valeur de l’ordonnée à l’origine p en utilisant les coordonnées du point A ou B. Par exemple, avec le point A : ce point appartient à la droite, ses coordonnées vérifient donc l’équation y = mx + p. D’où l’obtention de p par la résolution d’une équation.
Exemple 1
Déterminer l’équation réduite de la droite (d3) passant par les points
A(2 ; –3) et B(–1 ;  3).
Cette équation réduite est de la forme y = mx + p.
  1. On calcule la valeur de m :  .
  2. On calcule la valeur de l’ordonnée à l’origine p, à partir des coordonnées du point A(2 ;-3).
    Comme A appartient à (d3), il vérifie l’équation y = –2x + p.
    Donc .
    L’équation réduite de la droite (d3) est donc y = –2x + 1.
Exemple 2
Déterminer l’équation réduite de la droite (d4) passant par les points A(3 ; 1) et B(–1; –3).
Cette équation réduite est de la forme y = mx + p.
  1. On calcule la valeur de m.
  2. On calcule la valeur de l’ordonnée à l’origine p, à partir des coordonnées du point A(3 ; 1).
    Comme A appartient à (d4), il vérifie l’équation y = 1x + p.
    Donc .
    L’équation réduite de la droite (d4) est donc y = x – 2.
3. Tracer une droite du plan
a. À partir de son équation réduite y = mx + p
Méthode en calculant les coordonnées de deux points
Pour tracer une droite à partir de son équation réduite, on peut :
  1. choisir de manière arbitraire deux valeurs de x et calculer, à l’aide de l’équation réduite, les valeurs correspondantes de y ;
  2. placer alors les deux points obtenus dans le repère ;
  3. relier les deux points pour obtenir la droite souhaitée.
Remarque
À la première étape de la méthode, il est souvent plus facile de choisir 0 et 1 comme valeurs de x. Ces valeurs simplifient les calculs.
Exemple
Dans le repère , tracer la droite (d1) d’équation y = 2x + 1.
  1. On choisit arbitrairement deux valeurs de x, par exemple 0 et 1. On calcule les valeurs de y correspondantes.
    Pour x = 0, on a : y = 2 × 0 + 1 = 1. (d1) passe donc par le point A(0 ; 1).
    Pour x = 1, on a : y = 2 × 1 + 1 = 3. (d1) passe donc par le point B(1 ; 3).
  2. On place ces deux points dans le repère.
  3. On trace la droite qui relie les deux points. On obtient la représentation graphique de (d1) :
Remarque
Parfois, la recherche des coordonnées de deux points de la droite se présente sous la forme d’un tableau. Pour l’exemple précédent, on aurait pu présenter la démarche sous la forme suivante :
x 0 1
y 2 × 0 + 1 = 1 2 × 1 + 1 = 3
Avec cette présentation, les coordonnées des deux points se lisent dans les colonnes du tableau. Le premier point a pour coordonnées (0 ; 1) et le deuxième (1 ; 3).
b. À partir des coordonnées d'un point de la droite et du coefficient directeur
Méthode à partir des coordonnées d'un point de la droite et du coefficient directeur
Pour tracer une droite à partir d'un point A qui lui appartient et du coefficient directeur, on peut :
  1. placer le point A dans le repère ;
  2. à l’aide du déplacement que représente le coefficient directeur, placer un second point de la droite à partir du point A ;
  3. relier les deux points pour obtenir la droite souhaitée.
Exemple
Dans le repère , tracer la droite (d2) sachant que le point A(0 ; 3) appartient à (d2) et que le coefficient directeur de la droite vaut .
  1. On place le point A(0 ; 3) dans le repère.
  2. Le coefficient directeur de la droite vaut . Donc en partant de A, il faut faire un déplacement de +3 horizontalement et de +5 verticalement. On place ainsi un second point B dans le repère.
  3. On trace la droite qui relie les deux points. On obtient la représentation graphique de (d2) :
Remarque
Une pente a donnée en écriture décimale correspond à un déplacement de 1 horizontalement pour a verticalement.
c. Cas particulier des droites d'équation x = c
Rappel
Une droite d’équation x = c (c ) est parallèle à l’axe des ordonnées et passe par le point A(c ; 0).
Exemples
  • Voici la représentation graphique de la droite d'équation x = 3 :
  • Et celle de la droite d'équation x = –1 :

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