Le nombre dérivé en un point - approche graphique

La droite passant par 2 points distincts A et M de la courbe  de  est appelée sécante à la courbe de  en A et en M.

Le coefficient directeur de cette sécante vaut .
En posant et  pour  non nul, ce coefficient directeur s'écrit , et on reconnait ici le taux d'accroissement de  entre  et .

Pour une valeur de donnée, il existe une infinité de sécantes passant par A et par M, avec non nul.

Dire que est dérivable en signifie que le coefficient directeur des sécantes (AM) tend vers un réel correspondant au coefficient directeur de « la position limite » de ces sécantes, lorsque  tend vers 0.

On appelle tangente à au point A cette droite « position limite » des sécantes passant par A et de coefficient directeur .

Remarque
Autant chaque sécante possède 2 points communs avec , les points A et M, autant la tangente en A n'a qu'un seul point commun avec  : le point A.

Soit une fonction dérivable en un réel .
La tangente à au point a pour équation .

La tangente (T) au point A a pour équation réduite  et a pour coefficient directeur .
En remplaçant, (T) : .
Le point appartient à cette tangente donc ses coordonnées vérifient l'équation de (T) soit , ce qui donne .
Ainsi, en remplaçant dans l'équation de (T), on obtient : .

Il est ainsi possible d’écrire l’équation de la tangente (T) en  à , connaissant .

Écrire une équation réduite de la tangente (T) à  au point A(1, –3) sachant que .
On a , et .
Ainsi, (T) a pour équation réduite  soit .