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Le vocabulaire de la logique

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Objectifs

Utiliser les connecteurs logiques « et », « ou » et la négation « non ».
Reconnaitre et utiliser les symboles logiques.
Reconnaitre et utiliser les quantificateurs.

Points clés

Connecteurs logiques :
- et : remplir les deux conditions ;
- ou : remplir une des conditions ;
- non : condition inverse.
Implication : P ⇒ Q signifie que si P est vraie alors Q est vraie.
Équivalence : P ⇔ Q signifie que si P est vraie alors Q est vraie et si Q est vraie alors P est vraie.
Vocabulaire et symboles des quantificateurs :
- signifie « quel que soit » ;
- signifie « il existe ».

Pour bien comprendre

Géométrie plane

1. Connecteurs logiques et négation

a. Connecteurs logiques

Une proposition « P ou Q » est vraie si P est vérifiée ou si Q est vérifiée.

Exemple
P : « Ses côtés opposés sont égaux »
Q : « Ses côtés opposés sont parallèles »
Un quadrilatère est un parallélogramme si « P ou Q » , c’est-à-dire si ses côtés opposés sont égaux ou si ses côtés opposés sont parallèles.

Remarque
Une proposition « P ou Q » est fausse lorsque P et Q sont toutes les deux fausses.

Une proposition « P et Q » est vraie si à la fois P et Q sont vérifiées.

Exemple
P : « Ses quatre côtés sont égaux »
Q : « Ses diagonales sont de même longueur »
Un quadrilatère est un carré si « P et Q » , c’est-à-dire si ses quatre côtés sont égaux et si ses diagonales sont de même longueur.

Remarque
Une proposition « P et Q » est fausse lorsque P ou Q est fausse.

b. Négation

Non

La proposition « non P » est vraie lorsque la proposition P est fausse.

Remarque
Une proposition « non P » est fausse lorsque P est vraie.

Exemple
P : « Le triangle est rectangle »
Non P : « Le triangle n’est pas rectangle »

2. Implication et équivalence

a. Implication

P implique Q (noté « P ⇒ Q ») :
Si la proposition P est vraie alors la proposition Q est vraie.

Remarque
Si la proposition Q est vraie, cela n’implique pas toujours Q ⇒ P.

Exemple
P : « L’individu choisi est parisien »
Q : « L’individu choisi est français »
P ⇒ Q : Si l’individu choisi est parisien, alors il est français.

Par contre, Q ⇏ P : Si l’individu choisi est français, il n’est pas forcément parisien.

b. Condition nécessaire, condition suffisante

Condition nécessaire :

Si P Q, alors on dit que Q est une condition nécessaire pour P.

Exemple
Soit P : « Le quadrilatère est un carré » et Q : « Le quadrilatère est un rectangle ».
On a P

Q. Q est donc une condition nécessaire pour P.
Pour que le quadrilatère soit un carré, il faut que ce soit un rectangle.
Attention, la réciproque n’est pas vraie.

Condition suffisante :

Si P Q, alors on dit que P est une condition suffisante pour Q.

Exemple
Soit P : « Le quadrilatère est un carré » et Q : « Le quadrilatère est un rectangle ».
On a P

Q. P est donc une condition suffisante pour Q.
Pour que le quadrilatère soit un rectangle, il suffit que ce soit un carré.
Attention, la réciproque n’est pas vraie.

c. Équivalence

P est équivalent à Q (noté « P ⇔ Q ») :
Si la proposition P est vraie alors la proposition Q est vraie. (P ⇒ Q)
Si la proposition Q est vraie, alors la proposition P est vraie également.
(Q ⇒ P)

Remarque
Dans un théorème, l’équivalence se présente sous la forme « P est vraie si et seulement si Q est vraie ». On dit dans ce cas que P est une condition nécessaire et suffisante de Q.

Exemple
Dans un triangle ABC,
P : « AB² = AC² + BC² »
Q : « Le triangle ABC est rectangle en C »
P ⇒ Q : Si AB² = AC² + BC² alors le triangle ABC est rectangle en C
Q ⇒ P : Si le triangle ABC est rectangle alors AB² = AC² + BC²
Comme P ⇒ Q et Q ⇒ P alors P ⇔ Q

3. Quantificateurs

Les expressions « quel que soit » et « il existe » permettent de désigner les éléments qui nous intéressent dans un énoncé.

a. Quel que soit

« Quel que soit » signifie « pour tout », c'est un quantificateur universel. Il se note .

Exemple

. Cela signifie que le carré de tout nombre réel est positif.

b. Il existe

« Il existe » signifie « il existe au moins un », c’est un quantificateur existentiel. Il se note .

Exemple

k tel que k² = 1. En effet, 1² = (–1)² = 1.

Remarque
La notation ∃! signifie « il existe un unique ».

Exemple
La proposition « ∃! n, tel que n = n²» est-elle vraie ?
La réponse est non. En effet, comme 1² = 1, il existe bien un nombre qui vérifie n = n².
Mais le nombre 0 vérifie également n = n² car 0² = 0. Il n’y a donc pas unicité.

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