Le vocabulaire de la logique
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- Utiliser les connecteurs logiques « et », « ou » et la négation « non ».
- Reconnaitre et utiliser les symboles logiques.
- Reconnaitre et utiliser les quantificateurs.
- Connecteurs logiques :
- et : remplir les deux conditions ;
- ou : remplir une des conditions ;
- non : condition inverse.
- Implication : P ⇒ Q signifie que si P est vraie alors Q est vraie.
- Équivalence : P ⇔ Q signifie que si P est vraie alors Q est vraie et si Q est vraie alors P est vraie.
- Vocabulaire et symboles des quantificateurs :
-
signifie « quel que soit » ;
-
signifie « il existe ».
-
Géométrie plane
Une proposition « P ou Q » est vraie si P est vérifiée ou si Q est vérifiée.
P : « Ses côtés opposés sont égaux »
Q : « Ses côtés opposés sont parallèles »
Un quadrilatère est un parallélogramme si « P ou Q » , c’est-à-dire si ses côtés opposés sont égaux ou si ses côtés opposés sont parallèles.
Une proposition « P ou Q » est fausse lorsque P et Q sont toutes les deux fausses.
Une proposition « P et Q » est vraie si à la fois P et Q sont vérifiées.
P : « Ses quatre côtés sont égaux »
Q : « Ses diagonales sont de même longueur »
Un quadrilatère est un carré si « P et Q » , c’est-à-dire si ses quatre côtés sont égaux et si ses diagonales sont de même longueur.
Une proposition « P et Q » est fausse lorsque P ou Q est fausse.
La proposition « non P » est vraie lorsque la proposition P est fausse.
Une proposition « non P » est fausse lorsque P est vraie.
P : « Le triangle est rectangle »
Non P : « Le triangle n’est pas rectangle »
P implique Q (noté « P ⇒
Q ») :
Si la proposition P est vraie alors la proposition Q
est vraie.
Si la proposition Q est vraie, cela n’implique pas toujours Q ⇒ P.
P : « L’individu choisi est parisien »
Q : « L’individu choisi est français »
P ⇒ Q : Si l’individu choisi est parisien, alors il est français.
Par contre, Q ⇏ P : Si l’individu choisi est français, il n’est pas forcément parisien.
Si P 
Q, alors on dit que Q est une condition
nécessaire pour P.
Soit P : « Le quadrilatère est un carré » et Q : « Le quadrilatère est un rectangle ».
On a P
Q. Q est donc une condition nécessaire pour
P. Pour que le quadrilatère soit un carré, il faut que ce soit un rectangle.
Attention, la réciproque n’est pas vraie.
Si P 
Q, alors on dit que P est une condition suffisante
pour Q.
Soit P : « Le quadrilatère est un carré » et Q : « Le quadrilatère est un rectangle ».
On a P
Q. P est donc une condition suffisante pour
Q. Pour que le quadrilatère soit un rectangle, il suffit que ce soit un carré.
Attention, la réciproque n’est pas vraie.
P est équivalent à Q (noté
« P ⇔ Q ») :
Si la proposition P est vraie alors la proposition Q
est vraie. (P ⇒ Q)
Si la proposition Q est vraie, alors la proposition P
est vraie également.
(Q ⇒ P)
Dans un théorème, l’équivalence se présente sous la forme « P est vraie si et seulement si Q est vraie ». On dit dans ce cas que P est une condition nécessaire et suffisante de Q.
Dans un triangle ABC,
P : « AB2 = AC2 + BC2 »
Q : « Le triangle ABC est rectangle en C »
P ⇒ Q : Si AB2 = AC2 + BC2 alors le triangle ABC est rectangle en C
Q ⇒ P : Si le triangle ABC est rectangle alors AB2 = AC2 + BC2
Comme P ⇒ Q et Q ⇒ P alors P ⇔ Q
Les expressions « quel que soit » et « il existe » permettent de désigner les éléments qui nous intéressent dans un énoncé.
« Quel que soit » signifie «
pour tout », c'est un quantificateur universel.
Il se note 
.
. Cela signifie que le carré de tout nombre
réel est positif.
« Il existe » signifie « il
existe au moins un », c’est un
quantificateur existentiel. Il se note 
.
k tel que k2 = 1. En effet, 1²
= (–1)² = 1.
La notation ∃! signifie « il existe un unique ».
La proposition « ∃! n, tel que n = n2 » est-elle vraie ?
La réponse est non. En effet, comme 1² = 1, il existe bien un nombre qui vérifie n = n2.
Mais le nombre 0 vérifie également n = n2 car 0² = 0. Il n’y a donc pas unicité.
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