Proportions et pourcentages- Première- Mathématiques - Maxicours

Proportions et pourcentages

Objectifs
  • Calculer une proportion sous différentes formes (décimale, fractionnaire).
  • Appliquer une proportion sous différentes formes (décimale, fractionnaire).
  • Calculer la proportion d’une proportion.
  • Calculer un pourcentage.
  • Appliquer un pourcentage.
  • Calculer un pourcentage de pourcentage.
Points clés
  • La proportion d’une sous-population S dans une population E est le nombre . On note souvent p la proportion.
  • Une proportion peut être exprimée en fraction ou en écriture décimale avec une précision donnée.
  • Appliquer une proportion p à une quantité revient à multiplier cette quantité par p.
  • Lorsque l’on connait une proportion, l’exprimer sur 100 est souvent plus pratique, notamment pour la comparer à une autre proportion. On dit qu’on l’exprime en pourcentage. Cela signifie que l’on calcule une proportion dans le « cas idéal » où l’effectif total de la population est ramené à 100.
  • Le pourcentage d’une quantité est donné par la formule : .
  • Appliquer un pourcentage x à une quantité revient à multiplier cette quantité par .
  • Si A représente t1 % de B et si B représente t2 % de E, alors A représente de E.
Pour bien comprendre

Produit en croix

1. Proportion d'une sous-population dans une population
a. Calcul d'une proportion
La proportion d’une sous-population S dans une population E est le nombre . On note souvent p la proportion.
Rappel
L'effectif correspond au nombre d'éléments d'une population.

Propriété
On a toujours 0 ≤ p ≤ 1.
Exemple 1
Dans une classe de seconde de 36 élèves, il y a 20 filles et 16 garçons. La proportion de garçons est de , la proportion de filles est .
Exemple 2
On relève dans un tableau les notes obtenues à un contrôle dans une classe. À partir des effectifs, on calcule la proportion de chacune des notes.
Pour cela, on commence par calculer l’effectif total : 4 + 3 + 8 + 7 + 4 + 3 + 2 = 31.
Note sur 20 5 7 10 12 13 14 16  
Effectif 4 3 8 7 4 3 2 Effectif total : 31
Proportion p  
Remarque
Une proportion peut être exprimée en fraction ou en écriture décimale avec une précision donnée.
Exemple
Dans une classe de seconde de 36 élèves, il y a 20 filles et 16 garçons. La proportion de garçons est de  (arrondi au centième), la proportion de filles est  (arrondi au centième).
b. Application d'une proportion
Propriété
Appliquer une proportion p à une quantité revient à multiplier cette quantité par p.
Exemple
Dans une classe de 36 élèves, les  mangent à la cantine. Calculer le nombre d'élèves qui mangent à la cantine.
On doit calculer . Il y a donc 24 élèves qui mangent à la cantine.
c. Intérêt des proportions

Le calcul des proportions permet de comparer entre elles des populations dont les effectifs sont différents.

Exemple
Les notes à un contrôle commun de mathématiques de deux classes sont les suivantes :
Classe 1 : 26 élèves
Note [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20]
Effectif 5 8 8 5
Classe 2 : 34 élèves
Note [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20]
Effectif 6 12 11 5
Dans la classe 1, 5 élèves ont entre 0 et 5.
Dans la classe 2, 6 élèves ont entre 0 et 5.
Comme les effectifs des deux classes sont différents, c’est la comparaison des proportions des élèves qui ont entre 0 et 5 qui a le plus de sens.
Classe 1 : 
Classe 2 : 
Donc proportionnellement, c’est dans la classe 1 qu’il y a le plus d’élèves qui ont entre 0 et 5.
2. Pourcentage
a. Intérêt des pourcentages

Lorsque l’on connait une proportion, l’exprimer sur 100 est souvent plus pratique, notamment pour la comparer à une autre proportion. On dit qu’on l’exprime en pourcentage. Cela signifie que l’on calcule une proportion dans le « cas idéal » où l’effectif total de la population est ramené à 100.

b. Calcul d'un pourcentage
Méthode

Pour transformer une proportion exprimée sous la forme d’une fraction en proportion exprimée sous la forme d’un pourcentage :

  • transformer la fraction pour obtenir un dénominateur égal à 100 (on peut, pour cela, utiliser un produit en croix) ;
    Effectif ?
    Effectif total 100
  • exprimer la fraction de dénominateur 100 sous la forme d’un pourcentage (avec le symbole %).

On déduit du produit en croix :

Le pourcentage d’une quantité est donné par la formule : .
Exemple
Dans une famille de 5 enfants, 2 sont des garçons. Quel est le pourcentage de garçons parmi ces enfants ?
On construit un tableau :
Effectif 2 ?
Effectif total 5 100
On effectue ensuite un produit en croix : 
Le nombre manquant est donc : .
Ainsi, . Il y a donc 40 % de garçons parmi ces enfants.
c. Application d'un pourcentage
Propriété
Appliquer un pourcentage x à une quantité revient à multiplier cette quantité par .
Exemple
Un objet dans un magasin coute 125 euros. La vendeuse décide d’appliquer une réduction de 12 %. Calculer le montant de la réduction.
On doit calculer . On aura donc une réduction de 15 euros.
3. Pourcentage de pourcentage
Propriété
Soit un ensemble E contenant deux sous-ensembles A et B tels que A ⊂ B.
La proportion de A dans E est égale au produit de la proportion de A dans B par la proportion de B dans E. 

En pratique
Si A représente t1 % de B et si B représente t2 % de E, alors A représente de E.

Remarque
On peut écrire ce rapport sous la forme %.
Exemple
Dans un club de football, il y a 350 adhérents. Parmi ces adhérents, 20 % sont des benjamins et 40 % des benjamins sont des filles. Combien y a-t-il de benjamines dans ce club ?
La proportion de benjamines dans le club vaut  = 8 %.
Dans le club de football, il y a donc 350  8 % = 28 benjamines.

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