Les différents raisonnements mathématiques

Exemple
Montrer que quelque soit ∈,  est un nombre entier. 
Pour cela on utilise une disjonction de cas :

• Nous allons d’abord tester notre affirmation pour un nombre  pair.
  On a donc avec k∈. 
  Dans ce cas,  or est un nombre entier. L’affirmation est donc vérifiée si  est pair.
• Nous testons ensuite notre affirmation pour un nombre  impair.
  On a donc avec k∈.
  Dans ce cas, or est un nombre entier. L’affirmation est donc vérifiée si  est impair.

L’affirmation est vraie pour  pair et pour  impair. L’affirmation est donc vérifiée quelque soit .

Exemple non mathématique
Partons du principe que sur Mars il existe deux types de martiens avec un comportement très différent. Les martiens verts et les martiens rouges.
Pour vérifier l’affirmation P suivante : « Les martiens sont tous accueillants », on va faire une disjonction de cas.
Nous allons d’abord vérifier si les martiens verts sont accueillants.
Ensuite, nous vérifierons que les martiens rouges sont également accueillants.
Si les deux conditions sont vérifiées alors nous allons conclure que l’affirmation P est vraie.

Exemple
Soit a et b deux entiers naturel non nul.
Prouvons que “ab=1” ⇒ “a = b = 1”
Si a≠1 alors a≥2 et b≥1. Donc ab≠1.
Même chose si b≠1. On a prouvé que “a ou b ≠1” ⇒ “ab≠1”.
Par contraposée “ab=1” ⇒ “a = b = 1”.

Exemple non mathématique
Retournons sur Mars.
P : « Le martien est bleu ».
Q : « Le martien est gentil ».
P⇒Q signifie « Si le martien est bleu alors le martien est gentil ». 
La contraposée de P⇒Q est (non)Q⇒(non)P .

Pour prouver que « Si le martien est bleu alors il est gentil » il suffit de prouver que « Si le martien n’est pas gentil alors le martien n’est pas bleu ».

Exemple
Prouvons que est un nombre irrationnel.
Partons du principe que est un nombre rationnel. C’est-à-dire qu’il est possible de l’écrire sous forme de fraction : avec  et  deux nombres entiers relatifs, premiers entre eux. 
   . Cela veut dire que  est pair et donc que  est pair. C’est-à-dire que
On a donc  :   
Cela veut dire que  est pair donc que  est pair. 
Or, dans notre hypothèse de départ, nous avons choisi  et   tels qu’ils soient premiers entre eux. Si tous les deux sont pairs, ils ne sont pas premiers entre eux et nous arrivons à une incohérence.
On en conclut donc, à la suite de notre raisonnement par l’absurde, que n’est pas un nombre rationnel et qu’il est donc irrationnel.

Exemple non mathématique
Démontrons par l’absurde que « Les pommes ne poussent pas sur des poiriers ».
Pour cela on considère la proposition suivante comme vraie « Les pommes poussent sur des poiriers ». Or les fruits qui poussent sur des poiriers sont des poires donc puisque les pommes poussent sur des poiriers, ce sont des poires. C’est une absurdité.
On peut donc conclure que les pommes ne poussent pas sur des poiriers.

Exemple
Prenons l’affirmation « Le carré d’un nombre n est toujours pair ».
Prenons n=3. n² = 9 or 9 est impair donc l’affirmation est fausse.

Exemple non mathématique
Pour démontrer que l’affirmation « Les martiens bleus sont gentils » est fausse, il nous suffit de trouver un martien bleu qui n’est pas gentil.