Les différents raisonnements mathématiques- Première techno - Mathématiques
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Reconnaitre les différents types de raisonnement.
- Savoir quel type de raisonnement utiliser dans telle ou telle situation.
- Disjonction de cas : On vérifie notre propriété en testant différents cas et on montre que tous les cas aboutissent au même résultat.
- Contraposée : Pour vérifier P⇒Q on prouve que (non)Q⇒(non)P
- Raisonnement par l’absurde : On part du principe que la propriété est vrai et on montre qu’on arrive à quelque chose d’absurde ou d’incohérent.
- Contre exemple : On trouve une situation dans laquelle notre propriété ne marche pas.
- Reconnaitre des implications et équivalences.
- Savoir déterminer et reconnaitre les négations d’affirmation.
Pour prouver qu’une affirmation P est vraie, il est parfois nécessaire de tester si l’affirmation est vraie lorsque l’on différencie les cas.
Montrer que quelque soit
∈
,
est
un nombre entier. Pour cela on utilise une disjonction de cas :
- Nous allons d’abord tester notre affirmation
pour un nombre pair.
On a donc
avec
k∈
.
Dans ce cas,
or 
est un nombre entier.
L’affirmation est donc vérifiée
si est pair.
- Nous testons ensuite notre affirmation pour un
nombre impair.
On a donc
avec k∈.
Dans ce cas,
or 
est un nombre entier.
L’affirmation est donc vérifiée
si est impair.
L’affirmation est vraie pour pair et
pour impair.
L’affirmation est donc vérifiée
quelque soit .
Partons du principe que sur Mars il existe deux types de martiens avec un comportement très différent. Les martiens verts et les martiens rouges.
Pour vérifier l’affirmation P suivante : « Les martiens sont tous accueillants », on va faire une disjonction de cas.
Nous allons d’abord vérifier si les martiens verts sont accueillants.
Ensuite, nous vérifierons que les martiens rouges sont également accueillants.
Si les deux conditions sont vérifiées alors nous allons conclure que l’affirmation P est vraie.
Pour prouver que P implique Q, on peut prouver que l’inverse de la proposition Q implique l’inverse de la proposition P.
Soit a et b deux entiers naturel non nul.
Prouvons que “ab=1” ⇒ “a = b = 1”
Si a≠1 alors a≥2 et b≥1. Donc ab≠1.
Même chose si b≠1. On a prouvé que “a ou b ≠1” ⇒ “ab≠1”.
Par contraposée “ab=1” ⇒ “a = b = 1”.
Retournons sur Mars.
P : « Le martien est bleu ».
Q : « Le martien est gentil ».
P⇒Q signifie « Si le martien est bleu alors le martien est gentil ».
La contraposée de P⇒Q est (non)Q⇒(non)P .
Pour prouver que « Si le martien est bleu alors il est gentil » il suffit de prouver que « Si le martien n’est pas gentil alors le martien n’est pas bleu ».
Pour prouver qu’une affirmation P est fausse, on part du principe que cette propriété est vraie. On arrive alors à une incohérence ou une absurdité qui nous prouve que l’affirmation P ne peut pas être vraie et s’avère donc fausse.
Prouvons que
est un nombre irrationnel.Partons du principe que
est un nombre rationnel.
C’est-à-dire qu’il est possible de
l’écrire sous forme de fraction :
avec 
et 
deux nombres entiers
relatifs, premiers entre eux. 
. Cela veut dire
que 
est pair et donc
que est pair. C’est-à-dire que
On a donc :
Cela veut dire que
est pair donc
que est pair. Or, dans notre hypothèse de départ, nous avons choisi
et tels qu’ils
soient premiers entre eux. Si tous les deux sont pairs,
ils ne sont pas premiers entre eux et nous arrivons
à une incohérence.On en conclut donc, à la suite de notre raisonnement par l’absurde, que
n’est pas un nombre
rationnel et qu’il est donc irrationnel.
Démontrons par l’absurde que « Les pommes ne poussent pas sur des poiriers ».
Pour cela on considère la proposition suivante comme vraie « Les pommes poussent sur des poiriers ». Or les fruits qui poussent sur des poiriers sont des poires donc puisque les pommes poussent sur des poiriers, ce sont des poires. C’est une absurdité.
On peut donc conclure que les pommes ne poussent pas sur des poiriers.
Pour prouver qu’une affirmation P est fausse, il peut nous suffire de trouver un exemple pour lequel l’affirmation est fausse.
Prenons l’affirmation « Le carré d’un nombre n est toujours pair ».
Prenons n=3. n2 = 9 or 9 est impair donc l’affirmation est fausse.
Pour démontrer que l’affirmation « Les martiens bleus sont gentils » est fausse, il nous suffit de trouver un martien bleu qui n’est pas gentil.
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques
Le vocabulaire de la logique- Première techno - Mathématiques
Mathématiques
Proportions et pourcentages- Première- Mathématiques
Mathématiques
Taux d'évolution global et taux d'évolution réciproque- Première- Mathématiques
Mathématiques
Taux d'évolution et coefficient multiplicateur- Première- Mathématiques
Mathématiques
Le nombre dérivé en un point - approche graphique
Mathématiques
Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations sur les dérivées
Mathématiques
Dérivée, sens de variation et extrema d'une fonction- Première techno - Mathématiques
Mathématiques
L'équation réduite d'une droite- Première- Mathématiques
Mathématiques
Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation- Première- Mathématiques
Mathématiques
Variations et extrémums d'une fonction- Première- Mathématiques
Fermer
Accédez gratuitement à
